Continuité et suites

[invite3967272c]

Bonjour,

j'ai un exercice où il faut que je détermine si des assertions sont vraies ou fausses. Elles portent toutes sur la continuité et les suites.

Je vous en donne 2 pour exemple:

- Si f n'est pas continue en -1, alors il existe une suite (xn) avec lim(n-> ∞) xn = -1, telle que la suite (f(xn)) est convergente mais lim(n-> ∞) f(xn) ≠ f(-1).

- Si il existe une suite (xn) avec lim(n-> ∞) xn = -1, telle que la suite (f(xn)) est convergente mais lim(n-> ∞) f(xn) ≠ f(-1), alors f n'est pas continue en -1.

Donc voila si vous pouviez m'expliquer la méthode et la différence qui existe entre les 2 (c'est-à-dire pourquoi même si la première est vraie la seconde peut-être fausse ou toute autre combinaison) ça serait vraiment super.

Merci d'avance.
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[invite642cafc1]

On peut noter les deux propositions :
P : f n'est pas continue en -1
Q : il existe une suite telle que , est convergente,
La première assertion est "si P alors Q" (la question revient à "P=>Q vrai ou faux ?")
La seconde assertion est "si Q alors P" (la question revient à "Q=>P vrai ou faux ?").
Donc une peut être vraie et l'autre fausse.

Maintenant, un sens est évident : une telle suite peut-elle exister si f est continue en -1 ?
L'autre sens est moins évident mais fausse, un contre-exemple où aucune suite f(x_n) ne peut converger si (x_n) a pour limite -1 peut être construit.

[breukin]

Prend f(x)=1/(x+1) et f(–1)=0.
Toute* suite f(x_n) est divergente, où x_n tend vers –1.
* Sauf si x_n=–1 à partir d'un certain rang, mais alors elle ne converge pas vers une valeur différente de f(–1)