Continuité

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'aimerai savoir comment montrer que la fonction gamma est continue, de manière la plus simple possible (pas de détour disant qu'elle est dérivable, donc continue)

J'ai l'impression que plus on avance et plus les démonstrations sont simples pour montrer qu'une fonction définie par une intégrale est continue.

Je rappelle que
gamma(t)=intégrale sur R+ de x^(t-1)exp(-x)dx

J'aimerai savoir en fait s'il existe un argument simple qui permet de prouver la continuité.
La plus simple que j'ai vue (qui était d'ailleurs de moi) utilisait le théoreme de la convergence dominée de Lebesgue.
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[invite4793db90]

Salut,

je dirais que cela dépend de la définition que tu prends. A partir de la représentation intégrale, je ne pense pas qu'il y ait de preuve ne faisant pas appel aux théorèmes de convergence.

Mais il y a d'autre définition: cf. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

D'autre part, Artin, si ma mémoire est bonne, a démontré que la fonction gamma est la seule fonction f définie sur ]0;+oo[ vérifiant l'équation fonctionnelle f(x+1)=xf(x), logarithmiquement convexe et telle que f(1)=1. La log-convexité étant une propriété plus forte que la convexité, tu obtiens tout de suite la continuité de gamma (car une fonction convexe est continue).

Note: une fonction est logarithmiquement convexe si son logarithme est convexe.