[MP] Continuité

[invite3f53d719]

Bonjour,

J'aimerais montrer la continuité de la fonction I_k définie par:
(f est bornée, x est dans IR et t est dans IR+*.)
Je ne vois pas tellement d'autre moyen que le théorème de continuité sous le signe intégral. Le problème, c'est que je n'arrive pas à dominer uniformément la fonction par une fonction de y intégrable... Même sur tout compact ca foire car x peut etre égal à y, et donc le mieux que l'on puisse faire, c'est de dominer par f(y)y^k, qui n'est pas intégrable...

Si vous avez des idées...

Eric
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[invitef45cc474]

Salut Eric.
J'ai pas encore réfléchi sur cette question mais c'est vrai qu'elle parait assez dure (surtout qu'après faut montrer que cette fonction a des dérivées partielles). Je reviens quand j'aurai regardé, mais je poste ce message surtout pour dire à ceux qui se penchent sur le problème que Ik est une fonction de (x,t) (t'as fait une faute de frappe Eric)

Nico

[invite3f53d719]

Effectivement, c'est Ik(x,t)= le gros bordel.

Mais pour les dérivés partielles, c'est presque la même chose: t'utilises Leibniz pour dériver sous le signe intégrale, mais faut réussir à dominer la dérivé, ce que je n'arrive pas à faire!

[invitef45cc474]

Bon en fait ça va c'est pas si dur...
Tu prends (x,t) dans [a,b]x[c,d] avec 0<c<d
T'as |g(x,t,y)|<= A.exp[-(x-y)²/4d].y^k où A est la norme infinie de f.
Et ensuite tu majores exp[-(x-y)²/4d] par exp[-(b-y)²/4d] lorsque y>=b et par exp[-(a-y)²/4d] lorsque y<=a (et par une constante lorsque a<y<b).
T'obtiens une fonction de y positive continue par morceaux et intégrable sur R.

Et pour les dérivées partielles ça doit en effet être pareil. Je m'y mets

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

Ok merci, j'avais pas trop pensé à définir une fonction par morceaux... Mais juste un détail, on sais que les parties compactes de IR X ]0,+oo[ c'est de la forme [a,b]X[c,d]?

[invitef45cc474]

Alors moi aussi je me suis posé cette question... Je vois pas comment ça pourrait être autre chose qu'un produit de segments, mais c'est vrai qu'on a jamais démontré ça en cours.
Mais bon ça doit se montrer vite fait: si tu prends IxJ où I n'est pas fermé, alors IxJ n'est pas fermé, et si tu prends IxJ où I n'est pas borné, alors IxJ n'est pas borné.
Donc t'as nécessairement un produit de 2 segments (et la réciproque est vraie)

[invite2ec8adb6]

on ne le sait pas car c'est faux
de même qu'il existe des compacts de R qui ne sont pas des segments, il existe des compacts de IR X IR*+ qui ne sont pas des produits de segments(penser à des produits d'union de segments, fermés et bornés en dimension finie, donc compacts)
mais tout compact peut être inclus dans un compact de ce type

[invite3f53d719]

Oué mais finalement, pour nôtre problème on s'en tape que ca soit compact, il suffit juste que ca soit borné: on prend K compact de IR X IR+*, et (a,b)=sup K, et on distingue les cas lyl>a ou lyl<=a.