Continuité

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'ai un léger problème de topologie.
On sait que si on a (X,d) et (Y,d') 2espaces métriques, alors f est fonction continue de X dans Y si et seulement si tout ouvert de Y vérifie f^(-1)(Y) est ouvert dans X.

Hier j'écrivais une série d'exercices en topologie, et puis je suis tombé sur ce problème:

Je voulais montrer que ]0,1[ était ouvert, par une autre méthode que la méthode qui vient à l'esprit de tout le monde.
Ainsi je crée la fonction f:=tan((x-1/2)Pi) qui est continue et bijective de ]0,1[ dans R.
On a donc que l'image réciproque est l'image directe de la réciproque, et f^(-1)(R)=]0,1[
f étant continue, et R étant ouvert on peut en déduire que ]0,1[ est ouvert.
Mais R est fermé, et donc ]0,1[ est fermé, et ceci n'est pas possible dans un espace connexe.

En fait je viens de me poser la question suivante:
Je sais que mon argument est bon dans les 2 sens, mais en fait je pense qu'en procédant ainsi je prend que le premier espace métrique n'est pas R au complet, et que donc ]0,1[ n'est pas ouvert dans R au complet, mais simplement ouvert dans lui même, idem pour les fermés.
Qu'en pensez vous?

Pour utiliser le théorème que je veux, il faut que je trouve une fonction f définie sur R au complet, et telle qu'un ouvert sera envoyé par image réciproque sur un ouvert de R.

Qu'en pensez vous?
Ou est l'arnaque dans mon exemple?
J'avoue m'etre servi des centaines de fois de cet argument, et pourtant je suis bloqué ici...

Merci
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[invite9e95248d]

selon moi ta démonstration ne montre pas que ]0,1[ est un ouvert de R, mais seulement que ]0,1[ muni de la topologie induite est à la fois ouvert et fermé.
Si tu prenais des ouverts de R dans l'ensemble d'arrivé, tu trouverais via ta fonction des ouverts de ]0,1[ mais qui ne seraient pas forcément des ouverts de R.

[inviteca3a9be7]

Salut Quinto,


Ta fonction est définie seulement sur ]0,1[ tu ne peux pas raissonner dans IR mais seulement dans la topologie induite.

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci pour vos réponses, mais je ne les comprend pas très bien en réalité...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca3a9be7]

Re Quinto,


Pour reprendre tes notations X = ]0,1[. C'est normal pour l'espace tout entier d'être à la fois ouvert et fermé : ]0,1[ est ouvert et fermé dans (]0,1[, d)

N'importe quoi est ouvert et fermé : il suffit de prendre la topologie induite.

[inviteab2b41c6]

Salut, en fait ce que je fais implicitement c'est que ma fonction de
X dans Y
je considere que ici mon espace métrique X est ]0,1[ et non R tout entier, et en fait donc je montre que c'est ]0,1[=X qui est ouvert et fermé...

Si j'avais voulu montrer que ]0,1[ était ouvert par ma méthode, il aurait fallu que je trouve une fonction f qui va de R ( et non ]0,1[ )dans R, et dont l'image réciproque de R soit un ouvert de R.

En tout cas merci.