Exercice noyau et image d'une application lineaire

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

voici mon exercice ci dessous en pieces jointes dans l'ordre avec son debut de corrigé .

je ne comprends pas pourquoi les vecteurs f alpha (e1 ) f alpha (e2) f alpha (e4) forment un systeme de generateurs de l'image de f alpha.

et pourquoi aussi comme sa dimension est 3 alors {f alpha (e1) ; f alpha (e2) ; f alpha (e4)} definit une base de l'image de f alpha.


merci d'avance pour votre aide .
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[bubulle_01]

Bonjour,
Tu as trouvé que
Par le théorème du rang tu as
Donc

Donc si tu trouves une famille libre de 3 vecteurs de , c'est nécessairement une base.
Or, est génératrice (en tant que famille image d'une base).
Donc est aussi génératrice (car est combinaison linéaire des autres vecteurs, donc cela ne nuit pas à l'aspect générateur de la famille de l'enlever).
Tu as une famille génératrice de trois vecteurs appartenant à l'image : c'est une base.

[invite69d45bb4]

merci pour ta reponse eclairée bubulle_01.