Bonjour à tous
j'ai une question sur cette proposition.
Proposition 3 : Soit f : I → J une fonction strictement monotone. Alors f est injective.
est ce qu'il y a une fonction f injective mais nais pas strictement monotone? si oui est ce que vous pouvez me donné un exemple .
le même question pour cette proposition
Proposition 3 : Soit f : I → J une fonction continue. Alors f est surjective.
et merci d'avance.
par exemple une fonction qui est à "un saut" comme:
f(x)=x si x
et f(x)=1-x si x
alors f est une injection dedans
Un dessin permet de se représenter tout ça.
Pour la deuxième proposition, elle est manifestement fausse. f continue n'implique absolument pas f surjective. c'est un vrai ou faux?
pour montrer que f bijective de I vers J
On a deux méthodes :
la 1er est
de montre que f continue surI.
f strictement monotone sur I.
on sait que f bijective alors f est à la fois surjective et injective
donc si la continuité n'implique pas la surjection comment la fonction f soit surjective?
j'ai compris maintenant pour que la fonction f soit surjective il faut que f soit monotone et continue.
donc si f monotone et continue alors f est surjective.
soit f : I -->J
si f n'est pas monotone on peut trouver des x de I qu'ont plus d'un image.
si f n'est pas continue et monotone comme il adit notre ami Gianlino il y aura des trous dans l'image, et ces trous ne pourront pas être comblés plus tard, à cause de la monotonie de f.
Mais avoir plus d'une image n'est pas génant pour la surjectivité.si f n'est pas monotone on peut trouver des x de I qu'ont plus d'un image.
Pour rappel, une fonction est surjective si tout element de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent
Ne serrait tu pas en train de confondre surjectivité et bijectivité?
Et une fonction peut parfaitement être non continue, non monotone, et pourtant surjective (a condition de bien choisir l'ensemble d'arrivée)
Exemple, la fonction partie entiere
Par contre la fonction partie entière
Typiquement on peut rendre toute fonction surjective, en restreignant l'ensemble d'arrivée à l'ensemble des valeurs prise par la fonction
C'est un très bon exemple Tryss Merci.
Pour la deuxième proposition, elle est manifestement fausse. f continue n'implique absolument pas f surjective. c'est un vrai ou faux?[/QUOTE]
pouvez vous m'expliquez encore ?
