infini : proposition d' une approche

[invitee1c6d6b1]

Q l' ensemble des rationnels a deux propriétés:
-discret
-dense dans R

Je sais ce que ça veut dire, ou plus exactement je suis habitué à ça, mais en vérité j' ai jamais pu m' y faire.
Alors, une métaphore pour imager ça:
Discret: entre deux rationnels on peut toujours trouver un troisième entre les deux.
Image: je prend 2 droites parallèles. Je met des billes sur ces droites tous les dix centimètres. Je regarde les droites en perspective. Là bas, à l' horizon, les parallèles semblent se toucher, et les billes, qui matérialisent les rationnels, aussi. Donc, peut être qu' à l' horizon, les billes se touchent, finie alors la discrétion. Mettons en programme informatique cette image. A l' écran, le programme fait défiler les droites avec les billes en direction de l' horizon, de l' infini. Programme en boucle. Après 1000 ans d' observation, rien ne se touche, ni les droites parallèles, ni les billes. Après 500 000 000 000 000 000 ans, pareil. Ainsi de suite quelque soit "n" ans, si grand que soit "n" mais fini.
On extrapole donc : à l' infini ça doit être pareil.

STOP !

Extrapoler, égal parfois danger : une courbe s' est montrée ascendante les 100 ans précédents, alors on "extrapole" en disant fort possible que pour l' année à venir la courbe continue ainsi, ascencion. Manque de bol ! l' année suivante la courbe s' incurve vers le bas. Vous connaissez certainement un exemple de mauvaise surpprise de ce genre.

Alors doucement avant d' extrapoler sur l' infini.

PROPOSITION :

L' infini est une entité qui peut transformer un rationnel en irrationnel.


Les irrationnels, eux ne sont pas discrets.

Qu' en pensez vous ?
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[Médiat]

J'ai peur d'avoir à rectifier quelques points préalables :

1) la topologie standard sur Q n'est pas discrète
2) la définition de topologie discrète que tu donnes est fausse

[invite6b1e2c2e]

Salut, (... hum hum charte, politesse, courtoisie élémentaire tout ça)

Qu'est ce pour toi un ensemble discret ? Une proposition ? Une entité ? "L"'infini ? Il n'y en a qu'un seul ?

Bref, tout cela me semble très flou. Après, il est certes très intéressant d'avoir une idée plus ou moins intuitive des notions que tu utilises, et il n'est pas toujours facile de transmettre cette vision à d'autres, mais du moment qu'elle marche sur les exemples que tu connais, pourquoi ne pas la garder ? Cela dit, cela ne vaudra jamais une vraie preuve.

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rvz, Proposition 1 : Tout ce qui n'est pas prouvé rigoureusement est potentiellement faux, Proposition 2 : Tout ce qui n'est pas défini proprement est sujet à controverses...

[invitedf667161]

Salut, (... hum hum charte, politesse, courtoisie élémentaire tout ça)

Qu'est ce pour toi un ensemble discret ? Une proposition ? Une entité ? "L"'infini ? Il n'y en a qu'un seul ?

Bref, tout cela me semble très flou. Après, il est certes très intéressant d'avoir une idée plus ou moins intuitive des notions que tu utilises, et il n'est pas toujours facile de transmettre cette vision à d'autres, mais du moment qu'elle marche sur les exemples que tu connais, pourquoi ne pas la garder ? Cela dit, cela ne vaudra jamais une vraie preuve.

__
rvz, Proposition 1 : Tout ce qui n'est pas prouvé rigoureusement est potentiellement faux, Proposition 2 : Tout ce qui n'est pas défini proprement est sujet à controverses...

J'aime bien ta proposition 2.

J'aime bien aussi la vision de Petithassane, mais j'ai un peu peur qu'il se fourvoie comme a fait remarquer Mediat.

Il faut faire attention : les billes espacées sur une droite, ça représente plutôt Z que Q dans R. J'ai plutôt l'impression que c'est quand on regarde ça en perspective, à l'infini, que R reste R et que Z devient Q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

PROPOSITION :

L' infini est une entité qui peut transformer un rationnel en irrationnel.

Je comprends ta phrase comme ceci : une suite de rationnels peut avoir une limite irrationnelle. Dans ce cas, je suis tout à fait d'accord (et c'est un résultat somme toute relativement élémentaire).

Cordialement.

[invite35452583]

Discret: entre deux rationnels on peut toujours trouver un troisième entre les deux.
...
PROPOSITION :
...

Les irrationnels, eux ne sont pas discrets.

Qu' en pensez vous ?

Bonjour,
que si tout n'est pas faux, il faudrait tout de même rester cohérent avec les définitions car les irrationnels vérifient la propriété nommée ici "discret".

Cordialement

[inviteaf1870ed]

En fait quand on dit discret en maths, ça veut dire qu'il y a des "trous", Z est discret par exemple. POur Q c'est moins clair.
Pour te donner un exemple physique : tu peux créer un son en mélangeant des fréquences "pures". Les fréquences que tu as mélangées sont discrètes, et on va les retrouver en utilisant un spectroscope sous la forme de "batons". Par contre si tu écoutes un son quelconque, il sera composé d'une infinité de fréquences mélangées, et au spectroscope tu verras une courbe, et non plus des bâtons.

[invitee1c6d6b1]

Merci de vos remarques.

J' apprend que les irrationnels sont discrets ! Si c' est vrai j' y perd mon latin.

On a dit que ma métaphore des droites parrallèles traduisait plutôt Z dans Q, que Q dans R.
Alors autre image :
Q=ZxZ; je prend deux droites perpendiculaires, l' une en abcisse, l' autre en ordonnée. Chacune des droites représente Z. Les points de ce plan représentent tous les rationnels, Q. L' abcisse est le dénominateur et l' ordonnée le numérateur de la fraction = le rationnel.
Pour chaque point de ce plan, je plante un clou de 1 cm de haut. Tous les clous sur la bissectrice ascendante, ont pour valeur "1". Côté abcisses positives, tous les clous situés entre cette bissectrice et l' axe des abcisses, sont les rationnels compris entre "0" et "1". A chaque fois qu' on avance d' une unité sur l' axe des abcisses, on augmente le nombre de rationnels entre "0" et "1" à la verticale de l' abcisse.
Si l' on regarde ça en perspective, le phénomène va recommencer, entre deux rationnels il y aura toujours un autre rationnel, et ces rationnels n' arrèteront pas de se rapprocher, sans se toucher, toujours discrets.

Et peut être qu' à l' infini (là où on est jamais allé) les rationnels se toucheront comme les réels irrationnels.

Si une suite de rarionnels converge vers pi, on dit que lorsque n tend vers l' infini, U(n) tend vers pi. Mais on a pas le droit de dire que si n=infini alors U(n)=pi, à proprement parler.

Mais si l' infini est une entité qui peut transformer un rationnel en un irrationnel et si "n" arrive à atteindre l' infini, alors peut être que U(n)=pi.

[invitec053041c]

Je ne suis pas tellement d'accord quant à cette utilisation abusive d'infini et convergence.
Pour moi, Un ->Pi en +infini signifie exclusivement
Pour tout epsilone>0 il existe N0 tq pour tout n>=N0 |Un-Pi|=<epsilone.
Il n'y a pas ici de côté mystérieux lié à l'infini qui serait atteint et où l'on parlerait de U(infini) dans une 20eme dimension ^^
Enfin c'est juste mon avis.