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L’irréductibilité de polynômes et le théorème de Fermat-Wiles.
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Pierre de Fermat
Démonstration du Théorème de Fermat-Wiles par l’irréductibilité de polynômes.
Résumé :
Etant donnée l’équation de Fermat x^n+y^n-z^n=0 , où (x,y,z,n) ϵ N*^4, n>2 et p premier >2, le polynôme P(X) associé à l’équation x^p+y^p-z^p=0 et le polynôme Q(X) associé à l’équation x^4+y^4-z^4=0 étant irréductibles dans Z[X] n’ont pas de racines entières et, par conséquent, la marge m=x+y-z n’est pas un entier, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité z^n = x^n + y^n , où (x,y,z,n) ϵ N*^4 et n>2, est impossible.
Preuve :
Soit l’équation x^n+y^n-z^n=0, où (x,y,z,n) ϵ N*^4 et n>2.
En posant m = x+y-z, on peut écrire :
x = (x+y-z)+z-y = m+u , avec u=z-y
y = (x+y-z)+z-x = m+v , avec v=z-x
z = (x+y-z)+(z-y)+(z-x) = m+u+v = m+w, w=u+v.
Remarques :
- Dans une équation m est une variable entière et dans une égalité m est un nombre entier. Dans tous les cas, u, v, w et n sont des nombres entiers.
- Les polynômes examinés sont unitaires et, par conséquence, primitifs.
En posant x=m+u, y=m+v et z=m+w dans x^n+y^n-z^n=0, on obtient l’équation :
(1) (m+u)^n + (m+v)^n - (m+w)^n = 0 , avec w=u+v.
Puisque n>2, n est multiple de 4 ou d’un nombre premier p>2, il suffit de considérer le cas n=p et le cas n=4.
Avec n=p, l’équation (1) peut s’écrire :
(2) ((m-2)+(u+2))^p + ((m-2)+(v+2))^p - ((m-2)+(w+2))^p = 0, avec w=u+v.
Soit P(X) le polynôme associé à (2) :
(3) P(X) = (X+(u+2))^p + (X+(v+2))^p - (X+(w+2))^p , avec X=m-2.
L’application de la réduction modulo p à P(X), avec u^p+v^p-w^p≡ u+v-w=0 [p] et 2^p≡2 [p], donne : P(X)≡X^p+2 [p].
Le polynôme X^p+2 est irréductible dans (Z/pZ) [X] (irrationalité de 2^(1/p), critère d’irréductibilité d’Eisenstein) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (2) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité x^p + y^p - z^p = 0, où (x,y,z) ϵ N*^3 et p premier >2, est impossible.
Avec n=4, l’équation (1) peut s’écrire :
(4) ((m-1)+(u+1))^4 + ((m-1)+(v+1))^4 - ((m-1)+(w+1))^4 = 0, avec w=u+v.
Soit P(X) le polynôme associé à (4) :
(5) P(X) = (X+(u+1))^4 + (X+(v+1))^4 - (X+(w+1))^4 , avec X=m-1.
L’application de la réduction modulo 2 à P(X), avec w^4-u^4-v^4 ≡ w-u-v=0 [2], donne :
P(X)≡X^4+1 [2], polynôme qui, par le changement de variable Y=X^2, devient le polynôme équivalent : Q(Y)=Y^2+1 [2].
Le polynôme Y^2+1 est irréductible dans (Z/2Z) [X] (polynôme de degré 2 et de discriminant négatif) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (4) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité x^4 + y^4 - z^4 = 0, où (x,y,z) ϵ N*^3, est impossible.
Ainsi, l’égalité z^n = x^n + y^n , où (x,y,z,n) ϵ N*^4 et n>2, est impossible.
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
INPI – Paris
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, pour p premier vaut