A/I est un corps <=> I est maximal version wikipedia.

[invite5d9066d8]

Bonjour,
j'ai trouvé une preuve de cette proposition sur wikipedia, mais quelque chose me dérange. La voici :

Réciproquement, supposons que A / I soit un corps.
Montrons que tout idéal J de A contenant strictement I est égal à A. Un tel J contient un a n'appartenant pas à I. La classe de a est un élément inversible (?) donc il existe un élément b de A et un élément i de I tels que i + a.b = 1. Cette égalité montre que 1 est élément de J et donc J est égal à A. En conséquence, I est bien maximal.

Mon problème se situe au (?). Je sais que je devance la démonstration en faisant cela mais : comme on va montrer que J=A, alors la classe de tout élément de J sera . Or n'est pas inversible pour la multiplication.

Je pense me tromper quelque part, mais je ne vois pas ou... Est ce que vous pourriez m'aider ?
Merci !

CheikHNewtoN
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[invite5d9066d8]

Zut trop tard pour supprimer, j'étais parti sur l'anneau quotient A/J, or nous sommes encore dans A/I...
Désolé pour le sujet mort né !

[invite5d9066d8]

Mmmmh, en fait je n'aurais pas ouvert ce sujet pour rien.
En effet, on conclut : .
Je "vois" bien pourquoi, mais comment le prouver formellement. (si il y a une façon formelle de le prouver, car peut etre est-ce considéré comme trivial) ? Est ce qu'on peut toujours construire un anneau a partir de l'unité ?
Merci à vous !

[invitebe0cd90e]

Salut,

Effectivement c'est assez trivial : puisque J est un ideal, par definition si a est dans A et y dans J, alors le produit ay est dans J. Donc en particulier, si 1 est dans J, alors pour tout a de A, a.1=a est dans J, donc , donc A=J.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d9066d8]

Arrf comment ai-je pu ne pas y penser xD ? Merci à toi !