L'anneau K[X]

[invite340b7108]

Bonjour,

J'ai un exercice donc je ne comprends pas le corrigé.
Il faut montrer que le polynôme admet une racine multiple dans F₃[X] et factoriser P dans F₃[X].

Dans le corrigé, on calcule la dérivée P' du polynôme. Pourquoi ? Je ne vois nulle part dans mon cours où on dit que la dérivée permet de trouver la racine.

Le corrigé dit : et 1 est aussi une racine de P, qui est donc divisible par . Je ne comprends pas cette phrase !! Comment trouve-t-on (X - 1)² ?

Bref, je suis un peu larguée concernant tout les exos sur l'anneau K[X], et les corrigés ne sont pas du tout détaillés, donc si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça m'aiderait vraiment beaucoup !!

Merci d'avance !
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[inviteaf1870ed]

Une racine multiple d'un polynome est aussi racine de ses dérivées. Par exemple une racine double est racine de P et de P', triple de P, P' et P".

Donc une racine multiple est nécessairement racine de P'. Ici P' a une expression particulièrement simple, on en déduit que 1 est une racine multiple.

Comme 1 est racine de P et de P', P est divisible par (X-1)²=X²-2X+1=X²+X+1 dans IF3[X]

[invite340b7108]

Merci, c'est beaucoup plus clair maintenant !!!