F(x) + 1 = F(x + 1)

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie de trouver toutes les fonctions F(x) tels que F(x) + 1 = F(x + 1)

Mise à part F(x) = x et F(x) = [x] je n'en connais pas.
Alors si je dérive les deux membres :

F'(x) = F'(x + 1)

En posant F'(x) = G(x) cela revient à trouver une fonction G(x) périodique de période 1.

Si j'essaye avec g(x) = alors je tombe sur :



Et on a :

les C se simplifient et il me reste deux expressions qui ne sont pas équivalentes.
Qu'est ce que ça veut dire ? Que ma conjecture à propos de g(x) était fausse ?

merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tu imposes des conditions particulières ? Parce que si tu n'imposes pas la continuité, il en existe une bonne infinité (si ce n'est plus ) de fonctions vérifiant ta relation...

Et sinon, oui, ça veut dire qu'il n'existe pas de fonction ayant pour dérivée ce que tu as tenté et vérifiant la relation...

[yat]

pour |x|, je ne pense pas que ça marche.

En dehors de ça, il n'est pas très compliqué de trouver toutes les fonctions qui respectent la condition de départ : pour toute fonction g de [0;1[ dans R, il existe une telle fonction f, telle que pour tout entier k, f est définie sur [k;k+1[ par f(x)=g(x-k)+k.

[Bleyblue]

Je préfererai que f soit continue mais ce n'est pas indispensable.

Connais tu un autre moyen pour calculer F ?

EDIT : Croisement avec yat

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

pour |x|, je ne pense pas que ça marche.

J'ai dit [x] et non pas |x|

Je vais essayer ta méthode

merci

[invite88ef51f0]

Comme a commencé à l'expliquer Yat, tu prends n'importe quelle fonction sur [0,1[, et tu lui colles des copies d'elle-même translatées (de 1 en abscisse et de 1 en ordonnée)...
Si tu veux quelle soit continue, il faut juste que ta fonction de départ soit continue et que sa limite à gauche en 1 soit égale à sa valeur en 0.
Si tu veux qu'elle soit dérivable, c'est pareil, avec en plus que la fonction doit être dérivable et que son nombre dérivée à gauche en 1 soit égal à celui à droite en 0.
...

Edit C'est quoi [x] ? La partie entière ? En France on la note plutôt E(x), mais il me semble avoir déjà vu cette notation.

[yat]

Connais tu un autre moyen pour calculer F ?

Si tu veux une fonction continue, définie simplement sur R (et pas par intervalle), il suffit de choisir une fonction g périodique de période 1 et de lui ajouter x.

[yat]

J'ai dit [x] et non pas |x|

Désolé...

[Bleyblue]

Edit C'est quoi [x] ? La partie entière ?

Oui

Désolé...

Pas grave

Je vais essayer tout ça, merci !

[invite00411460]

bah ya aussi F(x) = x+k qui est solution à ton problème...

[invite6f0362b8]

f(x+t) = f(x) + T


Il suffit de prendre un fonction de période t et de lui ajouter x*T/t

exemple:

sin(tx/2pi) + x.T/t (sin periodique)
cos(tx/2pi) + x.T/t (cos periodique)

sin(tx/2pi)+cos(tx/2pi)+xT/t (sin + cos periodique)

Constante + x. T/t (constante etant periodique)

etc...

[Bleyblue]

bah ya aussi F(x) = x+k qui est solution à ton problème...

Celle la je l'avais aussi, merci

Il suffit de prendre un fonction de période t et de lui ajouter x*T/t

Je n'y avais pas pensé tiens, merci !

[yat]

Je n'y avais pas pensé tiens, merci !

Euh... c'est une généralisation de la méthode que je t'ai donnée... dans ton problème on a t=T=1.

[Bleyblue]

Euh... c'est une généralisation de la méthode que je t'ai donnée... dans ton problème on a t=T=1.

Je l'avais bien remarqué ne t'inquiète pas, c'est juste que je n'avais même pas pensé à généraliser ...

[inviteab2b41c6]

Si tu veux que ta fonction soit C1 partout, ce qui est déjà très fort, tu as tout un tas de séries de fourier possibles...
A+

[Bleyblue]

Par C1 tu veux dire continue ?
Sinon ben les séries de Fourrier je ne connais pas encore ...

merci

[invite6f0362b8]

== J'ai oublié de cité yat avant de généraliser ===


Maintenant si tu veux une autre methode pour f(x) + 1 = f(x+1) plus intuitive

Tu prends une courbe périodique quelconque (on va dire quelle à un axe de 'symétrie' y=0) que tu fais 'tourner' sur la droite y=x (ou y= x . T/t) ensuite tu fais variée la périodicité ... [ou faire varié la périodicité puis faire 'tourner' la courbe...plus simple]


Cette méthode donne des fonctions mais pas obligatoirement la continuité ..vu qu'il est possible que pour une valeur x, tu peut obtenir plusieurs y

[invite19415392]

f(x+t) = f(x) + T


Il suffit de prendre un fonction de période t et de lui ajouter x*T/t

J'ajouterai d'ailleurs que vu que forcément, dans l'autre sens (g : x -> f(x)-x*T/t) on va tomber sur une fonction périodique, on définit ainsi toutes les fonctions répondant à l'équation fonctionnelle.