condition d'injection application

[invite99e93d4e]

Bonjour,

Voilà j'ai un problème pour un exercice vu en TD.
Soit f et g deux fonctions de R dans R.
On définit f g l'application de R² dans R² qui associe les couples (x,y) aux couples (f(x),g(y))
La question est : sous quelle condition de f et de g peut on dire que f g est injective?

Lors de la correction de l'exercice la réponse était que f ET g devait être injective mais je pense qu'il est nécessaire que f OU g soient injective pour que f g soit injective(j'ai probablement tord mais je ne comprends pas bien pourquoi) :

Si je prends deux fonctions:
f injective : pour tout x₁ x₂, f(x₁) f(x₂)
g non injective : pour tous y₁ y₂, g(y₁)=g(y₂)

dans ce cas (x₁,y₁) (f(x₁),g(y₁))
et (x₂,y₂) (f(x₂),g(y₂))

puisque x₁ x₂ et y₁ y₂ on a (x₁,y₁) (x₂,y₂)
et puisque f(x₁) f(x₂) et g(y₁)=g(y₂) on a (f(x₁),g(y₁)) (f(x₂),g(y₂))
donc pour tous (x₁,y₁) (x₁,y₁) => (f(x₁),g(y₁)) (f(x₂),g(y₂))

donc pour que f g soit injective, il faut que f OU g soit injective non?

merci d'avance
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[invite57a1e779]

Exemple :

est injective
est constante et non injective.
n'est pas injective.

[invite99e93d4e]

a oui effectivement
Y a t'il un moyen de démontrer que f x g soit bijective si et seulement si f et g sont bijectives?

[invite57a1e779]

L'injectivité de est la propriété : pour tout et tout .

On voit bien que l'on a besoin de l'injectivité de pour obtenir , et de l'injectivité de pour obtenir .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite99e93d4e]

ok merci beaucoup.