exo de statistiques

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo de stat où je n´avance pas et je n´ai pas de corrigé, je bloque dès la première question: En voilà le début d´énoncé:

Soit (X_i)_{i = 1...n} i.i.d. avec X₁ de densité:

f(x) = teta. e^(-teta.x).1_[0,+oo[(x).

Bref, Xi suit la loi exponetielle.

On propose d´estimer teta par



Dans une première question, on me demande de calculer la moyenne E(X₁), ça quand même j´y arrive... :
E(X₁) = (teta)^-1.
Puis je dois expliquer le choix de l´estimateur Y_n: là aussi, pas de problème: la moyenne de la somme des X_i est n.(teta)^-1, par continuité de la fonction 1/x, la moyenne de l´inverse de cette somme est teta.n^-1 et du coup, la moyenne de Y_n est teta.

À partir de là, tout coince: Je dois prouver la convergence en probas et p.s. de Y_n vers teta. Bon, pour la convergence p.s. je m´en suis pas trop occupé, je sais pas trop comment faire, mais pour la convergence en probas, j´ai pensé à la méthode suivante (classique je pense):

- prouver la convergence de E(Y_n) vers teta: déja fait vu que E(Yn) = teta.
- puis prouver la convergence de Var(Y_n) vers 0.

Alors d´une part c´est apparement pas la méthode, vu que deux questions plus tard, on me demande de calculer Var(Y_n). Mais là n´est pas la question, ce qui me chiffonne, c´est que justement je trouve que la variance de Yn est: teta.(n-2)/2, donc ne converge pas vers 0. J´ai fait comme ça pour trouver la variance de Y_n:

E(X₁) = 1/teta; E(X₁²) = 2/teta².







Bref, (latex, je te hais) je trouve:


Du coup, je ne trouve pas, comme escompté, que la variance en question converge vers 0.

Malgré maintes vérifications, je ne vois pas d´erreur de calcul, et je ne vois pas comment employer une autre méthode...

Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance

christophe
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[invite986312212]

message annulé

[invitee75a2d43]

message annulé

Ben pourquoi?

[invite986312212]

bah, j'avais rien de positif à dire. Mais au fond le négatif peut servir aussi : tu as tort de penser que Yn est un estimateur sans biais. L'espérance de X est 1/theta mais l'espérance de 1/X n'est pas theta.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Ah j´avais compris dans ton premier message ("message annulé") que tu avais annulé mon message en tant qu´administrateur, alors j´ai relu tout mon message pour voir si j´y avais écris des phrases pouvant offenser

Bref, j´ai trouvé aujourd´hui un corrigé de cet exo, et effectivement, j´étais largement à côté de la plaque concernant la moyenne de Y_n.

Dans le corrigé, il calcule d´abord la densité f_xn de la somme des Xi, il trouve une loi gamma, puis il calcule évidement la moyenne de Yn en faisant:



De la même manière il calcule E(Y_n^2) et la variance. J´ai cru pouvoir me faciliter la vie en disant que si 1/x est une fonction continue, E(1/X_n) = 1/E(1/X_n)