[ besoin d'aide ] Analyse élémentaire, suite.

[invite8cd68189]

Bonjour chers Forumeurs.
Actuellement en L1 parcours renforcé à la faculté des sciences de Poitiers, j'ai des cours d'analyse élémentaire beaucoup plus poussés que ceux présents dans un parcours L1 science, normale

Cependant j'ai beaucoup de mal pour cette UE et j'ai besoin de votre aide, car je sèche sur un exercice.
Je vous met l’énoncé, je suis à la recherche de pistes, car je ne sais pas du tout comment commencer.

1) Prouver que pour tout entier n>=1, l'éxistence et l'unicité d'un éel positif Un tel que

(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²=1

2) calculer U1 et U2

3) Montrez qu'on a pour tout n>=1, Un<=1

4) Montrez que la suite de terme général Un est strictement décroissante

5a) Montrez que pour tout n>=1 on
(Un)^(n+1)=2Un-1

b) en déduire que U converge vers 1/2.

( j'ai des idées pour les questions 3 et et 4, mais sinon bof bof )

Merci beaucoup pour vos réponse future.
Amicalement Koooook
-----

[ansset]

bonjour,
pour la première tu as f(Un)=1.
essayes de voir ce que donne cette equation en exprimant e(f(Un))=e
tu risque de trouver une belle suite.

[invite8cd68189]

je ne vois pas ou tu veux en venir
j'ai pris la fonction f:Un-->(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²

j'ai pris e(f(Un))
j'obtien donc une expression de la forme
exp(Un^n)*exp(Un^n-1)*...*exp(Un)=e

[invite57a1e779]

Si on pose , quel est le sens de variation de sur ?

La question 2 me pose problème : comment est-il défini ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cd68189]

je suppose que fn(x) est croissante sur [0;+infini[ cependant je ne vois toujours pas en quoi cela pourrait-il nous être utile.
Pour être honnête, je ne comprend même pas ce qu'est la suite U.... alors pour calculer U1 et U2.....

[invite57a1e779]

1) Prouver que pour tout entier n>=1, l'éxistence et l'unicité d'un réel positif Un tel que

(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²=1

Il suffit d'utiliser la définition donnée :
est l'unique réel positif tel que ;
est l'unique réel positif tel que ;
est l'unique réel positif tel que ;
est l'unique réel positif tel que ;
est l'unique réel positif tel que .

Mais je pense qu'il y a une erreur dans cette définition parce qu'elle ne permet pas définir .

[invite8cd68189]

peu etre que U1=1 tout simplement....

[invite8cd68189]

a oui, mais je me suis trompé excuse moi
(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²+Un=1
j'étais pourtant sur d'avoir mis le +Un

[invite57a1e779]

Ou peut-être que est l'unique réel positif tel que :



avec un terme du premier degré dans l'équation...

[invite8cd68189]

Merci de m'avoir expliqué le fonctionnement de cette suite, j'ai pu en conclure que U1=U2=1.
Pour la question 3 il m'a suffit de faire Un=1-[(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²] donc Un<=1
pour la question 4 je cherche encore.
Merci encore

[ansset]

je ne vois pas ou tu veux en venir
j'ai pris la fonction f:Un-->(Un)^n+(Un)^(n-1)+...(Un)²

j'ai pris e(f(Un))
j'obtien donc une expression de la forme
exp(Un^n)*exp(Un^n-1)*...*exp(Un)=e

et la suite ?
e(Un^n)=n*e(Un)
donc si tu multiplies les termes tu te retrouves avec :
n(n-1)(n-2)....e(un)^n=e

[invite8cd68189]

Désole du triple post j'ai mis u2=1 mais non pas du tout, désolé.
Nous avons donc U2²+U2=1
suffit de résoudre l'équation suivante
U2²+U2-1=0
ce qui donne 0.618 soit (-1+squrt(5))/2
On a donc U1=1 et U2=0.618

[invite8cd68189]

et la suite ?
e(Un^n)=n*e(Un)
donc si tu multiplies les termes tu te retrouves avec :
n(n-1)(n-2)....e(un)^n=e

sauf que e(Un^n) n'est pas égale à n*e(Un)...
avec les puissances on a seulement la relation e(ab)=(e(a))^b
par exemple e(1^2)=e différent de 2e(1)

[thepasboss]

Bonsoir,

La fonction f(x) = x^n + x^(n-1) + ... + x - 1 est strictement croissante sur [0,+oo[, vaut -1 en zéro et n-1 en 1. Avec ça, tu peux résoudre tout le début de l'exercice.

[ansset]

sauf que e(Un^n) n'est pas égale à n*e(Un)...
avec les puissances on a seulement la relation e(ab)=(e(a))^b
par exemple e(1^2)=e différent de 2e(1)

pardon pour cette enorme boulette !!

[invite8cd68189]

Un grand merci pour votre aide, j'ai pu faire une bonne partie de l'exercice grâce à vous, merci encore et bon dimanche.
Amicalement, Koooook

Ps: Ansset, les boulettes arrivent a tout le monde, si tu savais ce que j'écris parfois en devoir .
Bonne journée.