Différenciabilité

[inviteec33ac08]

Bonjour,
Soit f(x,y)= si (x,y) différent de (0,0) et f(0,0)=0
Démontrer que f est différentiable en (0,0).
Je n'arrive pas à commencer pourriez vous me donner quelques pistes ?
merci
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[invite0a963149]

il faut montrer que la fonction admet une dérivée partielle suivant x et suivant y en (0,0)

[inviteec33ac08]

Ok c'est bon j'ai montré que f admet des dérivées partielles premières en (0,0) qui ont toutes les 2 pour valeur 0 mais il me semble que je dois après majorer f en utilisant la norme.

[Tiky]

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Merci mais tu n'utilises pas de norme ici ?

[invite0a963149]

la valeur absolue est une norme comme une autre

[Tiky]

Si tu préfères, je note |.| la norme euclidienne de R (qui se confond avec la valeur absolue usuelle sur R). Et ||.|| la norme euclidienne sur R^2.
.
C'est bien un petit o de la norme.

[inviteec33ac08]

Ah ouais ok je vois et cette inégalité montre que la fonction est différenciable en (0,0) ?

[Tiky]

Cela te montre que :
lorsque . Et donc que . Avec .

[invite78b5d3b8]

L'existence de dérivée partielle est une condition nécessaire mais pas suffisante à l'existence du différentiel en (0,0), pour prouver l'existence de celle-ci, tu dois revenir à la définition:



Si cette limite existe, c'est bon!

[inviteec33ac08]

Merci donc pour montrer que f est différenciable en (0,0) d'une manière générale je dois montrer, Tiky que le quotient que tu as écris tend vers 0, si par exemple cela ne tendrait pas vers 0 cela est toujours différenciable en (0,0) ?
Merci encore

[Tiky]

Merci donc pour montrer que f est différenciable en (0,0) d'une manière générale je dois montrer, Tiky que le quotient que tu as écris tend vers 0, si par exemple cela ne tendrait pas vers 0 cela est toujours différenciable en (0,0) ?
Merci encore

Soit . Avec et des espaces vectoriels. f est différentiable en pour la norme si et seulement si il existe une application linéaire continue pour la norme telle que :
.
est appelé la différentielle de f au point .

Ici tu es en dimension finie, on peut donc choisir une norme quelconque et l'application linéaire trouvée est forcément continue. Tu dois simplement montrer que f admet un développement limité d'ordre 1. C'est-à-dire que :

[Tiky]

L'existence de dérivée partielle est une condition nécessaire mais pas suffisante à l'existence du différentiel en (0,0), pour prouver l'existence de celle-ci, tu dois revenir à la définition:



Si cette limite existe, c'est bon!

Tu donnes la définition de la dérivée partielle selon le vecteur au point a. Tu peux avoir une application non-différentiable en a qui admet des dérivées partielles selon tous les vecteurs en a.

[invite78b5d3b8]

Oula, euh oui, excuse moi, surtout que j'ai dit que l'existence d'une dérivée partielle n'avait rien avoir avec la différentiabilité juste au dessus..., c'est bien la formule que tu as donnée au dessus qui est bonne ^^'