Placement à taux fixe

[invite6ae3c2e3]

Pouvez vous me donner la formule a appliquer:
je veux placer 10000€ à taux fixe annuel de 4% pendant 10 ans, mais je veux prélever chaque mois 100€.
Au bout de combien de temps le "capital + intérêts" sera-t-il épuisé?
Merci de votre aide et, si je me suis trompé de site, pouvez vous me donner l'adresse adéquate pour m'aider à résoudre ce problème.

** Merci de choisir des titres significatifs, tous ceux qui posent une question ici ont besoin d'aide **

Médiat, pour la modération
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[invitea6f35777]

Bonjour,

On a un capital initial

On effectue un prélèvement mensuel

soit sur l'année un prélèvement

Le capital est à taux fixe

et donc si est le capital après années, au bout de la et avant le calcul des intérêts on obtient le capital

(on enlève le prélèvement)
les intérêts sont calculés à partir de ce capital

et on obtient le capital au bout de la année en rajoutant les intérêts au capital


Autrement dit pour obtenir le capital au bout de la année on déduit d'abord le prélèvement total annuel (soustration par ) et ensuite on calcule les intérêts (multiplication par ).
En utilsant les données on a

Maintenant, ceci est une formule de récurrence et donc si on veut calculer le capital restant au bout d'un certain nombre d'années il faut calculer le capital pour toutes les années intermédiaires Ce n'est pas pratique mais heureusement les matheux ont réfléchi à la question et ils savent résoudre cette formule de récurrence. La formule est:

Preuve:

 Cliquez pour afficher

On procède par récurrence. Cette formule est exacte pour puisqu'on a alors

et

De plus, si l'on suppose que cette formule est exacte pour une certaine valeur de alors

Or


De sorte que

Ainsi la formule est encore correcte pour . On en déduit par récurrence que la formule est vraie pour tout valeur de .

En remplacant les données numérique on trouve

Le capital est épuisé lorsque








Puisque est un entier il faut donc que

pour avoir un capital négatif ou nul (et en fait dans ce cas il sera strictement négatif). C'est donc au cours de la dixième année que le capital s'épuise et on a un capital négatif à la fin de l'année. En fait il est facile de calculer et grace à la formule, on a


Au début de la dixième année on a on a pas un capital suffisant pour tenir toute l'année mais seulement 10 mois. Pour le mois de novembre il ne reste plus qu'environ 26 euros.