Quelques corrélations avec les nombres NON premiers

[invitee6f0086a]

Bonjour à tous et toutes,

C’est la première fois que je pose une question dans cette section, si je ne suis pas à la bonne place, merci de me le signaler, je demanderais mon retrait.

Mon niveau est un DUT Mesures Physiques (il y a quelques décennies).

Mon tout premier programme fut d’afficher les nombres premiers dans un carré de X par X pixels, c’était avec un Apple 2+ (cela devrait rappeler quelques souvenirs à certains).

Et, j’ai été surpris de voir que l’on pouvait tracer des lignes verticales sans croiser un nombre premier.

Voici une image de wikipédia, d’un même affichage de 320/240, on peut parfaitement voir ces zones vides de NP où l’on peut tracer des lignes verticales.

Il y a une dizaine d’années, j’avais fait un petit programme afin de savoir si on pouvait également tracer des lignes (sans croiser des NP) dans diverses diagonales, et les résultats étaient plus que troublants.

A ce jour, j’ai repris cette petite étude en visual basic, et je peux masquer presque 90% des zones sans NP avec des lignes sous divers angles.

En gros, je m’intéresse à un algorithme des nombres non premiers.

Cet aspect est-il connu ? y a-t-il eu des travaux ?

Merci pour vos réponses,
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[invitea07f6506]

Vous êtes parfaitement à la bonne place

Cette propriété se voit assez facilement quand on utilise la méthode du crible d'Eratosthène pour trouver les nombres premiers dans un tel carré : en rayant les nombres non premiers multiples de, disons, 3, on va éliminer des verticales ou des diagonales entières (le fait qu'on élimine des diagonales ou des verticales dépend du côté du carré). Ce sont ces lignes que vous avez repérées.

L'explication cette fois-ci est assez simple, mais en changeant de méthode de représentation, on peut obtenir des motifs qui ne sont pas vraiment compris, à ma connaissance. Voyez par exemple la spirale d'Ulam. Comme quoi, on peut découvrir des phénomènes assez mystérieux avec ce genre d'approche et un peu de chance

[invite4ef352d8]

La spirale d'Ulam n'est pas non plus complètement incomprise. Les diagonales dans la spirale d'Ulam correspondent aux valeur prise par certains polynômes de dégrée 2.

Or il est conjucturé (mais non démontré) qu'on a un résultat type "théorème des nombres premier" pour l'ensemble des n tel que P(n) est premier pour polynome P, qui dit précesement que :
soit cette ensemble est fini, soit le cadinal de l'ensemble des n<x tel que P(n) est premier est equivalent à C x /log(x)

avec C une constante dépendant de P (qui s'exprime comme un produit infini sur les nombres premier).

C'est (un cas particulier de) la conjecture de Bateman-Horn : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Bateman-Horn

ainsi les diagonal qui apparaissent dans la spiral d'ulam correspondent juste aux polynomes qui ont un "C" plus élevé que leurs voisins.

[invitee6f0086a]

Bonsoir et merci pour vos réponses,

Ici , vous avez les « tracés de lignes » effectués.

Je n’ai pas votre niveau (et de très loin), mais il semble qu’il ne faut « pas beaucoup » pour trouver des corrélations afin de « remplir » tous les nombres non premiers.

Je suppose que de tels « tracés » sont bien connus, vous avez des liens ?

Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]