Arrangements numéro de téléphone à 6 chiffres

[invite2aad5edf]

Bonjour Bonjour ! (:

Je suis en Maths sup, et j'ai un problème dans un DM. J'ai l'exercice suivant à résoudre :

Un réseau téléphonique comporte des numéros à 6 chiffres ( de 0 à 9 ) [ 10 numéros donc, je me suis fait avoir ]
1) Quel est la capacité du réseau ?

2) Quel est le nombre de numéros comprenant :

a) 6 chiffres différents
b) 1 chiffre apparaissant deux fois, les autres une fois
c) 2 chiffres apparaissant deux fois, les autres une fois
d) 3 chiffres apparaissant deux fois ( mon prof indique celui là est dur mais mon prof est un peu bizarre )
e) 1 chiffre apparaissant 3 fois, les autres une fois
f) 1 chiffre apparaissant 3 fois, un autre deux fois
g) 2 chiffres apparaissant 3 fois
h) 1 chiffre apparaissant 4 fois, les autres une fois
i) 1 chiffre apparaissant 4 fois, un autre 2 fois
j) 1 chiffre apparaissant 5 fois
k) 1 chiffre apparaissant 6 fois

Je trouve des résultats qui semblent assez probables, mais à la fin, quand j'additionne tous les résultats de la question 2) je ne retombe pas sur la capacité totale du réseau. Je vous donne les réponses que je trouve. Si vous arrivez à voir d'où vient le problème.
Je sais que dans un numéro de téléphone il faut tenir compte de l'ordre des chiffres, mais je ne sais pas comment faire. J'ai été voir les histoires d'arrangements sur internet mais il n'y a pas d'exemples concrets qui se rapprochent de cela.
Je pense qu'il faut utiliser les cardinaux, les p parmis n. C'est des probas en gros !

Voici mes résultats :

1) 10^6

2) a ) 151200
b)136080
c) 90720
d)45360
e)60480
f) 34560
g) 10080
h) 15120
i) 4320
j) 2268
k) 10

J'espère vous avoir mis assez d'informations.. Je vous remercie par avance de votre aide !
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[Médiat]

Bonjour,

Je trouve

a	151200
b	453600
c	226800
d	10800
e	100800
f	43200
g	900
h	10800
i	1350
j	540
k	10

Dont le total est bien 1 000 000.

Vous expliquez votre démarche, et on trouvera peut-être où vous vous êtes trompée.

En tout état de cause, il s'agit de dénombrement et non de probabilité (même si l'un est souvent utile pour l'autre).

[invite2aad5edf]

Pour la a, je pense que l'on a fait pareil : ( 1 parmi 10) x ( 1 parmi 9) x ( 1 parmi 8) x ( 1 parmi 7) x ( 1 parmi 6 ) x ( 1 parmi 5)

Et c'est pour la b) que je pense que ma formule est fausse puisque je ne prends pas compte de l'ordre, mais je ne sais pas comment prendre compte de l'ordre. J'ai fait ( 2 parmi 10) x ( 1 parmi 9) x ( 1 parmi 8) x ( 1 parmi 7) x ( 1 parmi 6)..
Et j'ai fonctionné pareil pour les autres..
Je vois où est mon erreur mais je ne vois pas comment y remédier..

[Médiat]

C'est plus facile de vous expliquez maintenant.

Pour le b :
vous devez choisir le chiffre qui se répète (1 parmi 10), placez ce chiffre à deux endroits sans tenir compte de l'ordre (puisque c'est deux fois le même) soit choisir 2 places parmi 6,
puis sur la première place vacante vous choisissez un chiffre parmi ceux qui restent (1 parmi 9),
puis sur la place vacante suivante vous choisissez un chiffre parmi ceux qui restent (1 parmi 8),
puis sur la place vacante suivante vous choisissez un chiffre parmi ceux qui restent (1 parmi 7),
puis sur la place vacante suivante vous choisissez un chiffre parmi ceux qui restent (1 parmi 6).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2aad5edf]

Je comprends la deuxième partie de votre explication ( à partir de la deuxième ligne), mais je comprends pas le début.
J'ai essayé de faire comme j'avais compris mais je ne trouve pas le bon résultat.
C'est mon ( 2 parmi 10 ) du départ qui n'est pas bon ?
Choisir le chiffre qui se répète je comprends, mais justement, comment indiquer qu'il se répète, c'est ça que je ne comprends pas =/

[invite986312212]

la bijection entre d) et h) est assez facile à trouver...

[Médiat]

C'est mon ( 2 parmi 10 ) du départ qui n'est pas bon ?

Oui, c'est là que réside le problème. Pour dire qu'un chiffre se répète, il ne faut pas en choisir 2 mais un seul (d'où mon 1 parmi 10).

Choisir le chiffre qui se répète je comprends, mais justement, comment indiquer qu'il se répète, c'est ça que je ne comprends pas =/

En choisisssant 2 places (2 parmi 6) pour placer ce chiffre choisi à l'étape précédente.

[invite2aad5edf]

Merci beaucoup ! J'ai compris ( pour la b du moins )
Je pense que les autres marchent un peu dans le même raisonnement.
Je vais essayer de faire la suite, et si j'ai encore des questions je repasserais par ici !
Merci en tout cas !! =)

[invite2aad5edf]

Quelques minutes plus tard !

J'ai essayé la même technique pour la c), mais visiblement ça ne marche pas !
Si j'ai bien compris, je prends 1 chiffre parmi 10 et je lui attribue 2 places sur 6. Ensuite je prends 1 chiffre parmi 9 et je lui attribue 2 places sur 4 ( il ne me reste que 4 places normalement)
Puis je choisis 1 chiffre parmi 8 et 1 chiffre parmi 7.
Ce qui m'amène au calcul : ( 1 parmi 10) x ( 2 parmi 6) x ( 1 parmi 9) x ( 2 parmi 4) x ( 1 parmi 8) x ( 1 parmi 7)
Sauf que je retombe sur le résultat de la b) ='(

J'ai remarqué que le résultat de la b) était le double du résultat de la c) mais je ne vois pas comment y arriver..
Désolée de vous embêter avec ce problème, j'aimerais vraiment comprendre comment ça marche le dénombrement..

PS : excusez moi du double post, je voulais éditer et mon ordinateur n'a pas apprécié --'

[Médiat]

je prends 1 chiffre parmi 10 et je lui attribue 2 places sur 6. Ensuite je prends 1 chiffre parmi 9 et je lui attribue 2 places sur 4

En faisant ainsi vous comptez plusieurs fois la même chose, par exemple :

Vous choisissez 0 que vous mettez aux places 1 et 2 puis vous choisissez 1 que vous mettez aux places 3 et 4
ou
Vous choisissez 1 que vous mettez aux places 3 et 4 puis vous choisissez 0 que vous mettez aux places 1 et 2

[invite2aad5edf]

Mais il faut bien que j'attribue un deuxième numéro à deux places non ?
Je pensais qu'en mettant justement le ( 2 parmi 4) ça me permettait de prendre un autre chiffre et de lui attribuer deux places parmi les 4 qu'il reste, comme j'en ai déjà utilisé 2 sur 6.
J'arrive à trouver les mêmes résultats que vous pour la a), b) e) h) j) et k)
C'est juste que lorsqu'il y a plusieurs chiffres apparaissant plusieurs fois, je ne trouve pas la réponse !

[Médiat]

Au lieu de choisir un chiffre, puis un autre, prenez les 2 en même temps (2 parmi 10) puis placez le premier (2 parmi 6) puis le deuxième (2 parmi 4).