branch cuts

[kalish]

Bonjour, mettons que j'ai un polynome de z (complexe) qui se met sous la forme d'un facteur de p racine (z-a)(z-b)(z-c)... J'ai l'impression que si je cherche la racine p ième de ce polynome et que je veux calculer une intégrale sur un contour qui ne touchera jamais le branch cut de cette racine, il faudra que je fasse systématiquement des "branch cuts" partant des racines du plan d'intégration joignant l'infini mais centrés sur l'origine. Je ne sais pas comment justifier clairement ça (si c'est vrai bien sûr), pourriez vous me filer un coup de main?
-----

[Armen92]

Bonjour, mettons que j'ai un polynome de z (complexe) qui se met sous la forme d'un facteur de p racine (z-a)(z-b)(z-c)... J'ai l'impression que si je cherche la racine p ième de ce polynome et que je veux calculer une intégrale sur un contour qui ne touchera jamais le branch cut de cette racine, il faudra que je fasse systématiquement des "branch cuts" partant des racines du plan d'intégration joignant l'infini mais centrés sur l'origine. Je ne sais pas comment justifier clairement ça (si c'est vrai bien sûr), pourriez vous me filer un coup de main?

La fonction possède points de branchement, les points d'affixes . L'origine n'est en rien un point remarquable.
Pour le reste, le choix précis des coupures est pure affaire de convenance pour assurer la commodité technique d'un problème donné.

[kalish]

ok. Il me semblait que pour définir une puissance il fallait passer par la détermination du logarithme, et que c'était plutot la branche du logarithme qui était affaire de convenance, d'où les branches du ^1/P découlent. Je cherche surtout un chemin pour intégrer dans tout le plan complexe, mais qui évite le branch cut de Z^P=(z-a)(z_b)(z-c) etc... quand je parle d'être centré, je pense à la direction vers laquelle les branch cuts sont tournés, est-ce arbitraire? Bien sur ils doivent partir à l'infini, peut on prendre une "branche" parallèle à l'axe des abscisses par ex??

[kalish]

Pardon, je voulais dire Z= (z-a)(z-b)(z-c)

[A voir en vidéo sur Futura]

[kalish]

Je suis vraiment désolé d'avoir employé "centré sur l'origine" (en gras en plus), je voulais dire "dirigé vers l'origine", mais c'est une question tout aussi triviale je crois. Si on cherche Z^(1/P) et qu'on choisit comme branch cut n'importe quelle demi droite du plan complexe, d'angle alpha, alors les demies droites "interdites" du polynomes sont centrées sur les racines, mais font un angle alpha/P +2 k pi/P, et sont donc bien dirigées vers l'origine.
D'ailleurs sinon cette phrase n'a pas de sens:

des "branch cuts" partant des racines du plan d'intégration joignant l'infini mais centrés sur l'origine

[kalish]

alors après d'autres lectures, comme le branch cut n'est pas forcément une droite, mais n'importe quelle courbe allant à l'infini, les branch cut partant des racines peuvent être probablement aussi n'importe quelles courbes. j'aurais du ouvrir mon bouquin plus tôt pour pas passer pour un...