Bonsoir (ça faisait longtemps ),
j'essaie de démontrer un résultat assez simple à énoncer, mais je ne suis pas certain à 100% de la rigueur du raisonnement que je suis, aussi je souhaite vous en faire part.
Hypothèses:, I intervalle de R stable par f, ll un point fixe de f dans I, a un élément de I et on considère la suite .
But: montrer que si , alors il existe un voisinage V de l dans I tel que pour tout a de V, la suite u converge vers l.

Je suppose, ça commence bien,que f' est continue au voisinage U de l.
On a alors immédiatement, par traduction de cette continuité: que est majorée par k<1 au voisinage U' de l. On se place dans la suite sur le plus petit de ces deux voisinages U, U' et on le note V.
On a par l'inégalité des accroissements finis ( dérivée bornée par k et f continue sur un intervalle) que f est contractante sur V. En particulier, puisque V est centré en l point fixe de f , .
On considère maintenant .
On a:
1) V est stable par f (la "contractance" de f donne soit )

2) on a donc

3) on peut donc appliquer l'inégalité à la suite, et par récurrence immédiate obtenir que , ce qui donne la convergence de u vers l.

Qu'en pensez vous ?


Merci d'avoir pris le temps de me lire, et de me faire toutes les remarques (euh ... constructives, hein !) que vous voulez.

Mathématiquement,

Snowey