la borne inf dune famille de distances est elle une distance ?

[syborgg]

a priori je ne vois aucune raison pour qu'une borne inferieure d'une famille de distances d_i soit une distance (ou alors j'ai manque un truc evident ?...);
je me suis alors mis a chercher un contre exemple avec seulement 2 distances dont le min ne satisfait pas l'inegalite triangulaire;
et j'en ai pas trouvé !
j'ai essayé avec les differentes distances classiques du plan euclidien, et aussi sur Q avec la distance de la valeur absolue et une p-adique... pas moyen de sortir un contre exemple.
vous en voyez un ?
ou alors vous pouvez prouver que l'inf de distances en est une ?
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[syborgg]

ah j'ai aussi bien sur essaye avec une distance non triviale et la distance triviale qui definit la topologie discrete...

[invite76543456789]

Salut,

Si tu prend une famille infinie de distances, alors c'est non, prend sur R² par exemple 1/n.d ou d est la distance classique, alors l'inf est identiquement nul et donc pas séparé.
Maintenant si tu prends la distance 2-adique et la valeur absolue archimedienne sur Q, alors d(2^n,0)=1/2^n, d(0,1/3^n)=1/3^n, d(2^n,1/3^n)=1 pour n assez grand.
Or 1 n'est pas plus petit que 1/2^n+1/3^n pour n assez grand.

[syborgg]

merci bien vu !
en fait pas la peine de prendre n assez grand , ca marche avec 2 et 1/3.

[A voir en vidéo sur Futura]