Seuil de complexité

[SimonF]

Selon le théorème de Gödel, un système formel « suffisamment » complexe est incomplet et inconsistant.
Existe-t-il des systèmes finis qui sont suffisamment complexes pour répondre à ce théorème ?
(Par ailleurs, je ne crois pas qu’il existe de métrique de la complexité, mais je n’en suis pas sûr)
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[Médiat]

Selon le théorème de Gödel, un système formel « suffisamment » complexe

Système du premier ordre, à la fois suffisamment complexe pour permettre de formaliser l'arithmétique, mais aussi suffisamment simple en ce sens qu'elle est récursivement axiomatisable.

est incomplet et inconsistant.

Non : est soit incomplet soit inconsistant

Existe-t-il des systèmes finis qui sont suffisamment complexes pour répondre à ce théorème ?

Si par fini, vous voulez dire finiment axiomatisable, la réponse est oui : Le système Q de Robinson.

(Par ailleurs, je ne crois pas qu’il existe de métrique de la complexité, mais je n’en suis pas sûr)

Si il existe la complexité de Kolmogorov, les travaux de Märtin-Löf, de Chaitin etc.

[SimonF]

"Si par fini, vous voulez dire finiment axiomatisable, la réponse est oui : Le système Q de Robinson."

Par infini j'entendais de cardinal infini et non finiment axiomisable. Pas comme l'arithmétique justement.

[Médiat]

Cardinal de quoi ?

Et l'arithmétique de Peano n'est pas finiment axiomatisable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SimonF]

Cardinal = Le nombre d'éléments de l'ensemble complexe
Je vous remercie beaucoup pour vos réponses mais il va falloir faire un effort pour comprendre les questions de l'ignare que je suis.
Je prends un systéme formel qui répond au théorème de Gödel (Un ensemble muni de règles: dans ma tête ça peut être formulé comme cela, mais corrigez moi si je me trompe). Existe-t-il des exemples de tels systèmes qui auraient un nombre d'éléments fini?
(ma question n'a peut-être aucun sens, excusez en moi à l'avance)

[Médiat]

Cardinal = Le nombre d'éléments de l'ensemnble complexe

Vous parlez des modèles de ces théories ? Si oui, les théories des modèles finis sont complètes (elles ne sont pas soumises au théorème de Gödel puisqu'incapable de formaliser l'arithmétique).