Démonstration de la suite de Syracuse

[invitee44bbede]

RÉCAPITULATIF :
La suite de Syracuse est la suivante :
Prendre un entier naturel non-nul, le diviser par 2 s’il est paire ou le multiplier par 3 et additionner 1 s’il est impaire.
La conjecture de Syracuse défini que pour n’importe quel entier naturel non-nul, une fois la suite appliquée, il atteint 1. Une fois 1 atteint, il s’ensuit le cycle trivial qui est (1, 4, 2)
PROPOSITION :
Existe-t-il un entier strictement positif qui, une fois la conjecture appliquée, diverge vers l’infini ou atteint un autre cycle que le cycle trivial ?
Tout d’abord afin de démontrer cela, je vais voir s’il existe un autre cycle que le trivial :
Avec un cycle de trois temps, il existe huit possibilités qui seront toutes égal à x car ce sont des cycles, et x ayant la propriété suivante:
x>0∈N^*
DÉMONSTRATION :
Les possibilités sont donc :
1 : Soit il croît, décroît puis décroît ce qui impliquerait l’équation :
((3x+1)/2)/2=x=(3x+1)/4

→3x+1=4x
→1=x



2 : Soit il décroît, décroît puis croît ce qui impliquerait l’équation :
3((x/2)/2)+1=x=3(x/4)+1=3x/4+1=(3x+4)/4
→3x+4=4x
→4=x
L’ensemble de solution est donc 4.
3 : Soit il décroît, croît puis décroît ce qui impliquerait l’équation :
(3(x/2)+1)/2=x=(3x/2+1)/2=((3x+2)/2)/2=(3x+2)/4
→3x+2=4x
→2=x
L’ensemble de solution est donc 2.
Comme on peut le remarquer, ce sont les trois chiffres du cycle trivial, les équations sont différentes mais si elles sont répétées à l’infini égal, car c’est un cycle.
4 :
Soit il croît, croît puis croît ce qui impliquerait l’équation :
3(3(3x+1)+1)+1=x=27x+9+3+1=27x +13
→27x=x-13
→26x=-13
→x=(-13)/26
Mais cela est inférieur à 0.
5 : Soit il décroît, décroît puis décroît ce qui impliquerait l’équation :
((x/2)/2)/2=x=x/8
→x=0
Mais cela est égal et non supérieur à 0.
6 : Soit il croît, décroît puis croît ce qui impliquerait l’équation :
3((3x+1)/2)+1=x=(9x+3)/2+1=(9x+3+2)/2=(9x+5)/2
→9x+5=2x
→9x=2x-5
→7x=-5
→x=(-5)/7
Mais inférieur à 0.
7 : Soit il décroît, croît puis croît ce qui impliquerait l’équation :
3(3(x/2)+1)+1=x=9(x/2)+3+1=9x/2+4=(9x+8)/2
→9x+8=2x
→9x=2x-8
→7x=-8
→x=(-8)/7
Mais inférieur à 0.

8 : Soit il croît, croît puis décroît ce qui impliquerait l’équation :
(3(3x+1)+1)/2=x=(9x+3+1)/2=(9x+4)/2
→9x+4=2x
→9x=2x-4
→7x=-4
→x=(-4)/7
On remarque donc que le seul cycle trivial possible est (1, 4, 2).
C.Q.F.D.
Ensuite je vais démontrer qu’aucun autre cycle non-trivial (de plus ou de moins de 3 étapes).
Pour cela il faudrait que 3x+1 et x/2 soient leur inverse s’ils sont effectués un certain nombre de fois.
La multiplication ayant comme inverse la division, et vis-versa, on peut écrire l’équation comme tel :
(3+1)m=2n
Où m est le nombre d’exécutions de 3x+1 et n celui de 2n.


Mais avant, une démonstration est nécessaire afin d’affirmer que 3x+1 exige d’utiliser ensuite x/2 :



DÉMONSTRATION :
On utilise 3x+1 si et seulement si x est impaire, c’est-à-dire :
x=2z+1

Avec z un entier strictement positif quelconque.
Ainsi, on obtient :
(3(2z+1)+1)/2=(6z+3+1)/2=(6z+4)/2=3z+2∈N^*
C.Q.F.D.
DÉMONSTRATION :
Puis que l’on peut grouper les termes de la suite :
Selon la suite de Syracuse, tous les termes possibles seront entiers et strictement positif. Ainsi :
3x+1=z
→(3x+1)/2=z/2=y
→3((3x+1)/2)+1=3(z/2)+1=3y+1
Donc chaque terme de la suite est groupable.
C.Q.F.D.




DÉMONSTRATION :
Ce qui nous permet de résoudre l’équation précédent posée :
(3+1)m=2n
(3x+1) ne peut être utilisé qu’une fois de suite donc m=1, ce qui implique :
4=2n
n=4/2=2
Ainsi, il existe un et un seul x tel que :
((3x+1)/2)/2=x=(3x+1)/4
De ce fait, le cycle (1, 4, 2) est le seul cycle existant.
C.Q.F.D.
Après avoir démontrer cela, il faut vérifier qu’il n’existe aucun x tel que la suite de Syracuse de x diverge vers l’infini.
DÉMONSTRATION :
Donc il ne peut pas suivre de schéma car :
3x+1=z
Où z dépend uniquement de x.
z/2=y
Mais là, y ne dépend que de z est non de x, bien que z lui dépend de x ainsi il ne peut pas suivre un schéma excluant des multiples. Il ne va donc pas converger vers l’infini.


De ce fait, et comme il ne va jamais passer deux fois par le même chiffre, à part pour le cycle trivial, il va obligatoirement tomber sur un n tel que :
n=2^m
À partir de ce moment-là, le terme de la suite va se diviser jusqu’à atteindre 1 et commencer le cycle trivial.
C.Q.F.D.

DÉMONSTRATION FINALE:
La suite ne tend donc pas vers l’infini, et ne s’arrête pas sur un autre cycle trivial que (1, 4, 2).
C.Q.F.D.


Merci de m'avoir lu

Arthur
-----

[breukin]

La suite ne tend donc pas vers l’infini, et ne s’arrête pas sur un autre cycle trivial que (1, 4, 2).
C.N.P.C.Q.F.D.

C.N.P : "Ce N'est Pas".
Vous avez démontré que si c'était cyclique, c'était le cycle trivial.
Vous avez démontré que ça ne divergeait pas.
Et alors ? Je vous laisse découvrir pourquoi vous n'avez rien montré.

[breukin]

PS je n'ai pas vérifié si les démonstrations étaient justes.

[invitee44bbede]

S'il ne diverge pas vers l'infini et n'abouti pas sur un autre cycle que (1, 4, 2), tout entier strictement positif x atteindra 1 si l'on lui applique cette suite.
Donc la première proposition est fausse: '' Existe-t-il un entier strictement positif qui, une fois la conjecture appliquée, diverge vers l’infini ou atteint un autre cycle que le cycle trivial ?''
Mais la conjecture est juste. J'entendais démontrer la conjecture, désolé si ce n'était pas claire.
PS: Le je vous laisse découvrir pourquoi vous n'avez rien montré visait à m'ouvrir les yeux sur quelque chose qui vous semblait évident ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

La conjecture n'est pas démontrée.
Vous avez démontré que si c'était cyclique, c'était le cycle trivial.
Vous avez démontré que ça ne divergeait pas.
Et alors ? Vous n'avez pas démontré la conjecture ! Je vous laisse découvrir votre faute de logique dans l'affirmation :

S'il ne diverge pas vers l'infini et n'abouti pas sur un autre cycle que (1, 4, 2), tout entier strictement positif x atteindra 1 si l'on lui applique cette suite.

Par ailleurs, face à un problème sur lequel se cassent les dents tous les mathématiciens depuis des décennies, le fait de penser qu'on a trouvé une preuve facile est en soi une preuve d'inintelligence.

[invitee44bbede]

Je vais essayer d'expliquer le fil de ma pensée:
La conjecture va sois diverger vers l'infini, déjà démontrer que non.
Soit passer dans les nombres relatifs, impossible.
Soit stagner sur un cycle, le cycle trivial en question ou un autre, déjà démontrer que seul (1, 4, 2) est possible.
Je dois être bouché mais je ne situe pas l'erreur.

[breukin]

Je dois être bouché mais je ne situe pas l'erreur

Ben oui, c'est votre liste de "soit" qui n'est pas bonne.

[invitee44bbede]

Et quelle sont les ou le ''soit'' non-présent ?
Merci de m'éclairer.

[breukin]

Excellent exercice que de devoir chercher cela.

Indication :

Existe-t-il un entier strictement positif qui, une fois la conjecture appliquée, diverge vers l’infini ou atteint un autre cycle que le cycle trivial ?

Quelle est l'hypothèse sous-jacente implicitement admise en cas de suite non divergente ?
La conjecture de Syracuse consiste justement à démontrer ou infirmer cette hypothèse sous-jacente que vous, vous avez implictement admise.

[invitee44bbede]

Je suis désolé mais je ne vois pas. Je dois être fatigué.

[breukin]

Effectivement, mon premier réflexe a été de dire "mais ce n'est pas parce qu'elle ne diverge pas vers l'infini qu'elle est nécessairement cyclique".
Mais après réflexion, si, ce doit être ainsi, puisque les valeurs de la suite sont entières.

Donc je suis allé revoir (je n'avais pas regardé en détail) et on se rend compte que le texte de la démonstration du fait qu'un cycle ne peut avoir qu'une longueur de 3 est difficilement compréhensible :

Ensuite je vais démontrer qu’aucun autre cycle non-trivial (de plus ou de moins de 3 étapes).
Pour cela il faudrait que 3x+1 et x/2 soient leur inverse s’ils sont effectués un certain nombre de fois.
La multiplication ayant comme inverse la division, et vice-versa, on peut écrire l’équation comme tel :
(3+1)m=2n
Où m est le nombre d’exécutions de 3x+1 et n celui de 2n.

[invitee44bbede]

Effectivement,j'ai moi-même mis du temps à trouver une phrase qui avais du sens.
Mais si je reformule cela donne :
Chaque opération mathématique de base on leur inverse, c'est à dire un moyen de revenir au premier terme sans le premier terme. C'est le principe même d'une équation.
Exemple: 3x=6 => 6/3=x=2
Dans ce cas, on utilise une multiplication : 3x+1 et une division x/2
m et n sont le nombre de fois où je vais utiliser l'opération (3x+1 ou x/2) et j'ai déjà démontrer que l'on pouvait grouper les termes pour qu'ils soient à la suite.
Donc pour que le cycle aient lieu, il faut que 4m=2n, afin que cela fasse l'opération inverse.
Sauf que là n'importe qui dirait que cela ne va pas et que x n'est pas prit en compte, sauf que juste après, je démontre que 3x+1 implique un nombre paire, donc que l'on doit /2.
Ainsi, m=1 car l'on peux grouper la suite. Ensuite on résous l'équation, ce qui nous donne que n=2, donc on utilisera (3x+1)/2/2 ce qui nous donne la solution, 1.
Ou (3(x/2)+1)/2 => x=2 ou 3(x/2/2)+1=>x=4, mais cela ne donne que les autres termes car partis depuis un autre point du cycle.

[invitea0db811c]

Effectivement, mon premier réflexe a été de dire "mais ce n'est pas parce qu'elle ne diverge pas vers l'infini qu'elle est nécessairement cyclique".
Mais après réflexion, si, ce doit être ainsi, puisque les valeurs de la suite sont entières.

Donc la suite des décimales de Pi est cyclique. Hmmm ?

[invitea0db811c]

Effectivement,j'ai moi-même mis du temps à trouver une phrase qui avais du sens.
Mais si je reformule cela donne :
Chaque opération mathématique de base on leur inverse, c'est à dire un moyen de revenir au premier terme sans le premier terme. C'est le principe même d'une équation.
Exemple: 3x=6 => 6/3=x=2
Dans ce cas, on utilise une multiplication : 3x+1 et une division x/2
m et n sont le nombre de fois où je vais utiliser l'opération (3x+1 ou x/2) et j'ai déjà démontrer que l'on pouvait grouper les termes pour qu'ils soient à la suite.
Donc pour que le cycle aient lieu, il faut que 4m=2n, afin que cela fasse l'opération inverse.
Sauf que là n'importe qui dirait que cela ne va pas et que x n'est pas prit en compte, sauf que juste après, je démontre que 3x+1 implique un nombre paire, donc que l'on doit /2.
Ainsi, m=1 car l'on peux grouper la suite. Ensuite on résous l'équation, ce qui nous donne que n=2, donc on utilisera (3x+1)/2/2 ce qui nous donne la solution, 1.
Ou (3(x/2)+1)/2 => x=2 ou 3(x/2/2)+1=>x=4, mais cela ne donne que les autres termes car partis depuis un autre point du cycle.

Que signifie "grouper", écrit avec clarté.
Que signifie "inverse" l'une de l'autre ?
Ce n'est pas pour être méchant hein, mais l'exigence de clarté des mathématiciens vient de quelque part...

[inviteea028771]

Donc la suite des décimales de Pi est cyclique. Hmmm ?

La suite de Syracuse est une suite de N dans N de la forme , si elle ne tend pas vers l'infini, alors elle est cyclique. (les décimales de pi ne forment pas une telle suite)

Déjà, si on a , alors , ça se montre par récurrence immédiate :
Supposons que si alors . On a alors

La propriété est donc héréditaire, et trivialement vraie pour k=0

Soit une suite de ce type tel qu'il existe un rang m et un entier strictement positif p tel que .

Alors pour tout n > m, que l'on peut donc écrire n = m+k avec k positif, on a . La suite est donc périodique à partir du rang m


Donc si la suite retourne à une valeur précédemment visitée, elle est cyclique.

Rerste à montrer que toute suite d'entiers naturels qui ne tend pas vers l'infini retourne forcément à une valeur précédemment visitée.
En effet, soit une suite d'entiers naturels qui ne tend pas vers l'infini. Ne pas tendre vers l'infini signifie qu'il existe un nombre M tel que quelque soit , il existe tel que

Soit la suite définie par :



Cette suite existe et est bien définie car la suite Un ne tend pas vers l'infini (cf ce qui précède), de plus elle est croissante

Reste à conclure :

est une suite composés de M+1 nombres entiers compris entre 0 et M-1 (inclus).
Pour choisir M+1 éléments dans un ensemble à M éléments, il est nécessaire de choisir au moins deux fois un élément.

La suite Un passe alors deux fois par le même nombre, et d'après la première partie, elle est donc cyclique


La rédaction de cette preuve n'est pas parfaite, mais je pense que l'idée y est

Appelez moi Captain overkill

et j'ai déjà démontrer que l'on pouvait grouper les termes pour qu'ils soient à la suite.

Tu entends quoi exactement par là? Si c'est juste dire que, à chaque fois que l'on multiplie par 3 et ajoute 1 on doit diviser par deux ensuite, c'est évident, mais je ne vois pas ce que ça apporte.

Si tu préfère, on peut écrire la suite comme ça :


Et on vient au cœur du problème :

Ensuite je vais démontrer qu’aucun autre cycle non-trivial (de plus ou de moins de 3 étapes).
Pour cela il faudrait que 3x+1 et x/2 soient leur inverse s’ils sont effectués un certain nombre de fois.
La multiplication ayant comme inverse la division, et vis-versa, on peut écrire l’équation comme tel :
(3+1)m=2n
Où m est le nombre d’exécutions de 3x+1 et n celui de 2n.

Comment tu obtiens cette équation? Ça me semble tout droit sorti du chapeau

(3x+1) ne peut être utilisé qu’une fois de suite donc m=1

Et un cycle qui l'utiliserai plusieurs fois, non pas de suite, mais plus long?

Par exemple 3x+1 => x/2 => 3x+1 = > x/2 => x/2

On aurait alors (3((3x+1)/2)+1)/4 = x, qui n'a pas de solution entière positive... ( x = -5 )
mais est ce vrai pour tout les cycles possible? Tu ne fais que l'affirmer, or c'est justement le cœur du problème.


Par exemple si on prend une variante de Syracuse à peine différente, celle pour laquelle on fait 3x-1 au lieu de 3x+1, alors il existe plusieurs cycles :
1 > 2 > 1
5 > 14 > 7 > 20 > 10 > 5

Or en appliquant tes arguments, qu'est ce que tu montrerai? que (3-1)m = 2n, et que m=1 parce qu'on duvuse forcément par 2 après avoir fait 3x-1 et que donc le seul cycle possible est 1 > 2 > 1?

[breukin]

Mais après réflexion, si, ce doit être ainsi, puisque les valeurs de la suite sont entières.

Donc la suite des décimales de Pi est cyclique. Hmmm ?

N'importe quoi ! Une décimale de n'est pas liée à la précédente par une relation de récurrence déterministe. Vous avez décorrélé la phrase du problème auquel elle s'applique.

Supposons que la suite des termes ne diverge pas vers l'infini.
Alors, il existe un entier tel que que pour tout entier , il existe un entier tel que .
On peut donc extraire une sous suite bornée de :
je choisis et il existe un entier tel que
je choisis et il existe un entier tel que
etc.
Or toute suite discrète bornée est telle qu'il existe deux entiers tels que . Donc la suite est cyclique, puisque est par définition issu de .

[invitee44bbede]

Donc, étant donné que l’on peux grouper chaque élément ( par grouper j’entend que la suite est de IN dans IN. Et que donc (3x+1)/2=z donc 3((3x+1)/2)+1=3z+1( Je n’ai pas accès à un ordinateur capable d’écrire précisement des signes mathématiques. )

Ainsi l’équation correct est ( je l’ai changée afin qu’elle soient plus ‘’juste’’ est logique :

3^m+((somme) x=0 et jusqu’à m-1 de 3^x)=2n=

3^m+(3^(m-1)/2+3^(m-1)-0,5

Garder en tête que m et n sont uniquement le nombre de fois que la suite sera utilisée.

La suite originel, celle énoncée au début impliquera que plus m est grand, plus n l’est aussi, que n>m et qu’il ne sont pas proportionnel.

Lorsque que l’on a n et m, on créer l’équation. En laissant comme critère que :

m implique n

Comme c’est de IN dans IN, dès que m égal 2, cela admet un résultat <1 ( je parle de x là)

car n croisse exponentiellement.

Tandis que la suite de Syracuse où l’on fait 3x-1 cela donne :

3^m-((somme) x=0 et jusqu’à m-1 de 3^x)=2n=

3^m-(3^(m-1)/2+3^(m-1)-0,5

Et là cela admet plusieurs solutions.

n peut ne pas être naturelle mais toujours il est strictement positif.

Et cette équation n’est pas toute droit sortie du chapeau. Cela part du principe simpliste que :

4m=3n implique de multitude de solution dans IN.

Encore plus dans IR, ainsi la ‘’multitude solution’’ pour la suite de syracuse est détérminée par l’équation et comme cela va de IN dans IN, les IR sont exclu, il n’en resort alors plus qu’un chiffre.

[Médiat]

J'ai vaguement l'impression que vous croyez que le résultat ne dépend que du point de départ, du nombre de fois où l'on applique la formule 3x+1 et du nombre de fois où l'on applique la formule x/2 ; or ceci est faux.

Vous n'avez pas besoin d'un ordinateur spécial pour taper des signes mathématiques : utilisez Latex disponible sur ce site.

[breukin]

Voir, en haut de la liste des discussions, celle-ci : "Important : Comment écrire des équations propres sur le forum ?"

[breukin]

Garder en tête que m et n sont uniquement le nombre de fois que la suite sera utilisée.

Eviter d'écrire des phrases qui n'ont aucun sens.
La suite, c'est quoi ?
Utiliser une suite, c'est quoi ?
Pour moi, cette phrase signifie que si la suite est utilisée 7 fois, alors .

Ne jamais oublier qu'en premier lieu, les mathématiques ne sont que du français (ou toute langue).

[invitea0db811c]

N'importe quoi ! Une décimale de n'est pas liée à la précédente par une relation de récurrence déterministe. Vous avez décorrélé la phrase du problème auquel elle s'applique.

Supposons que la suite des termes ne diverge pas vers l'infini.
Alors, il existe un entier tel que que pour tout entier , il existe un entier tel que .
On peut donc extraire une sous suite bornée de :
je choisis et il existe un entier tel que
je choisis et il existe un entier tel que
etc.
Or toute suite discrète bornée est telle qu'il existe deux entiers tels que . Donc la suite est cyclique, puisque est par définition issu de .

effectivement, mea culpa !

[invitee44bbede]

Oui, et j'était sur un ordi sans connecter en administration donc impossible de télécharger un logiciel .
Par suite j'entend, la suite de syracuse et par utilisée, appliquée une fois: faire ce que la suite dicte pour n
exemple: appliquée une fois pour 3:
3.3+1
appliquée deux fois:
(3.3+1)/2

Mediat, pourriez-vous reformuler votre pensé?
Merci

[leg]

bonjour
je pense que Médiat, breukin, veulent te dire que tu ne sais pas et tu n'as pas démontré que m et fini donc il tend vers l'infini...jusqu'ou... et t'il infini....?

tu ne sais pas quel est le nombre d'itérations pour chaque "suite ou vol"...

bien sur que si il n'y a pas de vol infini donc qui monte sans redescendre sous leur valeur de départ, et bien la conjecture est vraie, puisque alors les valeurs inférieures ont été vérifiées.

quand aux relatifs, une petite analyse de Syracuse te montrerais qu'ils sont bien en relation avec les vols i positifs, et effectivement il y a un cycle 4,2,4,2 dans les positifs et trois cycle dans les négatifs ,
soit trois boucles différentes: {-4 , -2 -2} ; {-14,-20,-10} et {-34,-50,-74,-110,164,-82,-122,-182,-272,-136,-68,-34,} la somme de ces trois boucles = 4m

et on n'a même pas besoins de s'occuper des itérations impaires.

il suffit de partir des vols i impairs, puis, les transformer en vols 2i et d'appliquer, L’algorithme AS2,qui donne les itérations : N₁ = (3*2i +2)/2 ; N₂ = N₁/2 si et seulement si multiple de 4, sinon (N_n+1*3 + 2) /2…etc

à quel moment un vol Z = 2i, se termine sur 2, lorsque les itérations N_n des deux vols -X et -Y sont tel que : 2* -N_x - -N_y = N_Z = 2

la distance entre les vols: positif et négatifs est distant de 2ⁿ, où l'exposant n est l'indice n de la n^ième.
Ex
vol i = 3, 2i = 6 ; itération N₅ = 2 ce qui donne les vols négatifs X et Y distant de 2⁵

vol -i = -29 soit le vol -X et l'itération N₅ = -16

vol -i = -61 soit le vol -Y et l'itération N₅ = -34

d'où : 2*-16 - -34 = 2

il y a de quoi s"amuser....

question : existe t-il un vol -i, infini....? y a t'il un quatrième cycle dans les négatifs....? la structure arithmétique qui ordonne la conjecture de Syracuse, est elle finie..?

au début sur l'axe -i = -2 , une suite géométrique de premier terme 6 et q = 3,
puis à la fin d'un vol, la somme des itérations de la première colonne de l'AS2 donne:
une suite arithmétique de terme -4 et de raison -4

pour un vol i = 2ⁿ -1, le nombre d'itérations constantes est 2n - 1 et la valeur de l'itéré = (3^n-1*6) - 2

Pour battre le record en altitude il suffisait de connaître les formules, relatif à la suite géométrique.
Ex:
Le vol 2 ⁸⁹ – 1 à une altitude de (3⁸⁸*6) – 2, à l’itéré N°177

La durée constante en altitude > à 1875, est le vol :

2²⁰⁰¹ – 1 qui a 4001 étapes constantes en altitude, avec une altitude > bien évidemment à 2⁸⁹-1
De (3²⁰⁰⁰ * 6) – 2 à l’itéré N° 4001

Mais sans aucun intérêt, car il suffit d’utiliser les suites, et leurs formules et, ils redescendent sur 1… !
bonne continuation....

[breukin]

Oui, et j'était sur un ordi sans connecter en administration donc impossible de télécharger un logiciel.

Il n'y a aucun logiciel à télécharger, il s'agit de mettre des balises TEX. Lisez la discussion intitulée "Important : Comment écrire des équations propres sur le forum ?" que vous trouverez en entête des discussions sur le présent forum.

[leg]

31415

tu penses sérieusement que le fait de pouvoir grouper les termes, même une infinité de foi cela veut dire que m est fini....

comment fais tu pour démontrer que dans les négatifs, il y a trois boucles, et uniquement 3 boucles...?

tu dis que z dépend de X et Y dépend de z tu plaisantes....
tu as dit:
3x+1 = z
tu as dit
x = 2z +1

et la dernière relation tu dis :
z/2 = y et que donc y dépend de z et non de 3x+1....? Et alors.... Z = 2n et alors.....

moi je dis:
3x+1 = une pomme de terre, et une pomme de terre /2 = 2 morceaux de patate; déjà je vois mieux que y dépend de la pomme de terre donc:

combien j'ai de pomme de terre....? ou combien de fois je vais coupé mes pomme de terre....est ce qu'elle va grossir....

car si elle tend vers l'infini, il n'y a pas de cycle ou un cycle qui boucle...! je pense que ta supposition d'un cycle de 3 termes ne change rien... même si tu aboutis au cycle 4,2,4,2 et qu'il y aurait que celui ci dans les positifs...

x peut être un entier, qui est tel qu'il va finir sur une boucle, c'est à dire un groupe d'entiers:
n'ayant aucun lien avec les itérations des autres vols finis.

tout comme si x génère des entiers qui font monter ce vol en altitude...à l'infini. il est évident que ces itérés, n'ont aucun lien avec les itérés des vols finis....!

tu ne fais que répéter la formule de Syracuse Z /2 = Y = n ou 2n.....etc.....etc

que se passe t'il lorsque tu arrives sur les deux dernières itérations 2² et 2¹; tu penses que les itérations sont finies.....?
bien sur ce vol est redescendu sur son cycle trivial, oui mais il continu pour les autres vols >...et va former une suite géométrique pour indexer des suites arithmétiques de raison 3ⁿ*6....
c'est à dire qu'à l'itéré 4, il dépend d'une suite arithmétique dent la raison est 3ⁿ*6, pour l'itéré 2, il en est de même, et pour le prochain itéré 4, et 2, on aura (3ⁿ*6)*3^1....n deux fois de suite
par exemple:
si 4 à pour suite la raison 54, 2 aura aussi 54, puis 4 aura 54* 3, 2 aura 54*3 .....54*3ⁿ et 54*3ⁿ.....etc etc....

X redescend t'il toujours sur la suite géométrique...?

bien sur qu'une telle structure aussi bien ordonnée, ne peut avoir une boucle ou un vol infini , car cela invaliderait la structure géométrique et arithmétique...
il en serait de même si une autre boucle que les trois existantes dans les négatifs existait...!

donc Syracuse revient sur la suite géométrique, une boucle ou un vol infini devrait obligatoirement dépendre des itérés ordonné par les suites arithmétique donc des vols finis sur 4 et 2, leur existence de par cette relation, entraîne une infinité de boucles ou de vols infinis.....Alors?

l'hypothèse de l'existence d'un de ces X est absurde car aucun fondement, ni même la possibilité de dire que la structure arithmétique est finie,
à moins d'admettre qu'une structure arithmétique ne veut rien dire....peut être....

mais surtout que la relation entre les itérés de 3 vols X,Y Z, ou X, Y , -Z, ou encore X, -Y, -Z, permet de faire passer les vols qui boucle ou infini, au travers...ce qui à mon sens, est le comble de l'absurdité....

mais la rigueur veut....! et que même sans aucun argument pour supposer le contraire, on puisse dire oui mais ça ne veut rien dire car la rigueur est là!

sauf peut être, faire un programme et montrer qu'il est récursif, puisque l'on fait appel au vols négatifs pour chaque nouvelle itération, donc nouvelle suite arithmétique, une boucle empêche de passer au vols suivants, de même la présence d'un vol infini, or un vol 2ⁿ-1 > à X qui boucle ou infini, contredirait cette Hypothèse,
car 2ⁿ-1, fini par redescendre sur la suite géométrique, et finirait par croiser l'itéré de X ....