Bonjour j'ai un exercice sur les suites et je n'y arrive pas.
pouvez vous m'aider ?
exercice 2
demontrer que si une suite (un) croissante converge vers un entier l alors pour tout n>0 unl
ici j'ai commencé en disant:
Soit I un intervalle ouvert ]l-a;l+a[
(un) converge vers l, il existe un rang n0 tel que n>n0
l-a<un<l+a
mais apres je sais pas comment faire peut etre un raisonnement par l'absurde
Bonjour, faute de frappe dans l'énonceEnvoyé par vribose
pour tout n>0 .... ????
Faut-il lire
??
oups oui une faute dans l'enoncé.
oui c'est ça
C'est en effet faisable par l'absurde.
Supposons qu'il existe
Alors
donc il existe
Maintenant plusieurs chose qu'il faut montrer:
1)
2)
(ces deux inégalités au sens strictes!)
3) Conclure
il y a t-il une autre façon de le faire ?
j'ai fait une autre demonstration pouvez vous me dire si elle est correcte:
Soit I un intervalle ouvert ]l-a;l+a[
(un) converge vers l, il existe un rang n0 tel que n>n0
l-a<un<l+a
on suppose qu'il existe un rang m tel que pour tout n, l<um
soit a tel que l<l+a<um
or pour tout n>n0 on a un<l+a<um
mais pour n>m on doit avoir um<un car un est croissante
donc si n est plus grand que m et que n0
donc um>l est impossible
La demonstration que tu proposes est fausses
En effet, la tu montres qu'il n 'existent aucun rang à partir duquel les termes sont superieurs à l mais il pourrait tres bien en avoir un seul.
On veut montrer qu'il n'y a AUCUN terme supérieur à l
Si tu veux raisonner par l'absurde le truc à supposer est.
"il existe un entier k tels que Uk>l "
En effet si ceci est faux alors cela veut dire qu'il nexiste aucun tels que Uk>l ou encore que pour tout k
et comment tu le demontre en gardant la meme demonstartion ?
Soit I un intervalle ouvert ]l-a;l+a[
(un) converge vers l, il existe un rang n0 tel que n>n0
l-a<un<l+a
on suppose qu'il existe un entier k tel que pour tout n, l<um
soit a tel que l<l+a<um
or pour tout n>n0 on a un<l+a<um
mais pour n>m on doit avoir um<un car un est croissante
donc si n est plus grand que m et que n0
donc um>l est impossible
là c'est bon non ?
Je trouve cette manière assez simple.C'est en effet faisable par l'absurde.
Supposons qu'il existe
Alors
donc il existe
Maintenant plusieurs chose qu'il faut montrer:
1)
2)
(ces deux inégalités au sens strictes!)
3) Conclure
Les reponses au 3 petites question que je t'ai posé sont tres courtes.
Par exemple, la 1)
On veut montrer que
Par l'absurde si on avait
Donc
faute de frappe, il faut bien sur lire
donc il existe
ouvert de chaque coté
ok mais sinon ma demonstration est juste ?
par contre je ne comprens pas comment tu montre un0<uk
on suppose qu'il existe un entier k tel que l<uk
soit a tel que l<l+a<uk (a>0, prendre par exemple a=(uk-l)/2)
or il existe n0 tels que pour tout n>n0
on a l-a<Un<l+a
Donc en particulier pour n0
l-a<Un0<l+a
Un0<l+a<Uk
Or on a k<n0 (fait dans la question 1 d'un de mes posts c'est exactement la meme demo)
Ainsi on a
k<Un0 (stricte)
Un0<Uk (stricte)
Impossible par croissance de U
Voila là ça me semble pas mal
On a pour tout
Pour TOUT
donc
donc
ici j'ai modifié la redaction de ta preuve en gardant la bonne idée du a tels que
l<l+a<Uk
en précisant son existence (le fait qu'il soit strictement positif)
Merci pour ton aide.j'ai compris la demarche a suivre
PS/:juste une derniere question est-ce que ma demonstration est juste ?
L'idée est bonne, la rédaction non.
C'est pour ça que j'ai repris ta redaction en gardant les idées
les = au debut signifie des équivalences ?
[QUOTE=Antho07;2368540] tels que pour tout
Pour plus de clarté
Il y a sur ce post deux démos différentes.
1ère démo: (la mienne)
Supposons qu'il existe
Alors
donc il existe
Maintenant on a:
1)
En effet,
Par l'absurde si on avait
Donc
2) [TEX] U_{n_{0}}<U_{k}
Effet,
On a pour tout
Pour TOUT
donc
donc
2)
Au final on a l'existence de
[TEX] k<n_{0} [/TEX et
impossible par croissance de la suite u.
2eme démo (celle inspiré de ton idée)
on suppose qu'il existe un entier k tel que
Alors il existe a>0 tel que
En effet on peut prendre
or puisque la suite u converge vers l
il existe
on a
Donc en particulier pour
d'ou
Or on a
En effet si
Absurde donc
Ainsi on a l'existence de
et
Impossible par croissance de U
Ok???
non c'est vraiment =.
si
alors
Donc
ok merci beacoup
Une autre méthode : Pour tout entier naturel
