[term/L1] démonstration suite

[invite4e79ea66]

salut,
je suis à la fac de bordeaux, et pour les partielles de janvier (1er semestre) on nous a donné une sorte de fiche de révision... cependant, j'ai un petit souci avec ladite fiche . Il y a marqué que l'on peut nous demander de reproduire la démonstration du fait qu'une suite réelle croissante et majorée est convergente. Or en term, on l'a juste admis et cette année on ne l'a pas démontré non plus. J'ai fait une petite recherche sur le net, sans résultat.
si quelqu'un connait cette démonstration ou un site qui la donne....
merci
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[kaya31]

Salut,

Une méthode :
- Prendre l'ensemble des majorants de la suite et considérez L son mimimum.
L est donc le plus petit majorant de la suite.
Donc tous les termes de la suite sont inférieurs à L et quelque soit x<L il existe un terme de la suite plus grand que x.
Après c'est tout simple de conclure que la suite converge vers L en utilisant la définition de la limite et le fait que la suite est croissante.

Cordialement

[Cyp]

kaya31>oui je suis d'accord mais l'id&#233;e repose surtout sur l'axiome de la borne sup&#233;rieure sans lequel rien ne prouve que "quelque soit x<L il existe un terme de la suite plus grand que x" mais sinon I aggree

[kaya31]

Bin vu comme j'ai défini L, y a pas le choix :
Si x<L, x ne fait pas partie des majorants (vu que L est le plus petit). Et si x n'est pas un majorant, c'est qu'il existe un terme de la suite plus grand que lui par définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cyp]

Je vais peut &#234;tre d&#233;tailler un peu plus lol.
chouket>tu as du voir &#224; priori la caract&#233;risation de la borne sup pour un ensemble E :
S est la borne sup&#233;rieure de E (le plus petit majorant de E en fait) ssi :

S est un majorant de E et
pour tout epsilon > 0, ]S-epsilon, S[ intersection E est non vide.

Qu'est ce que ca veut dire ? Tu sais que S est un majorant de E, le but de la caract&#233;risation quantifi&#233;e avec l'epsilon est de s'assurer que c'est le plus petit, et c'est ce qu'on fait : S-epsilon n'est plus majorant vu que il y a un &#233;l&#233;ment qui est dans E et dans ]S-epsilon, S[ (donc plus grand que S-epsilon).

Donc une fois que tu as ceci apr&#232;s c'est gagn&#233; Tu fais le raisonnement de kaya31 et ca marche
Cyp

[Cyp]

kaya31>oui d'accord, j'avias pas vu ta r&#233;ponse

[invite4e79ea66]

merci beaucoup
bonne soirée

[invite48be364f]

Salut, je bloque sur un exo sur les suite...alors si vous pouviez me donner un coup de pouce ça me ferai que du bien!
" On considère la suite (Un) définie pas Uo=0 et la relation Un+1=Un+e^-Un "
a/ démontrer que la suite Un est croissante (ça je l'ai fait)
b/ Démontrer que si la suite Un a pour limite un réel l, alors l vérifie la relation l=l+e^-l (la je galère)
c/Conclure quant à la convergence de la suite Un

[invite3f53d719]

De manière générale lorsque t'as une suite définie par Un+1=f(Un), SI ON SAIT que la suite converge vers l, alors l est un point fixe de f, c'est à dire f(l)=l.

Dem: On suppose lim(Un)=l, alors lim(Un+1)=limf(Un)=f(l), or lim(Un+1)=l, et par unicité de la limite, f(l)=l.

Mais bien faire attention à avoir montrer que la suite converge avant d'utiliser ce théorème.

Eric