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Démonstration par recurrence et suite



  1. #1
    azertylr

    Démonstration par recurrence et suite


    ------

    Bonjour,
    Je bloque sur une demonstration par recurrence.
    Il faut demontrer que 1<Un<3 pour tout entier n >(ou egal) a 1
    Un+1 = 8Un+3/Un+6

    J'ai fait :

    11<8Uk+3<27
    7<Uk+6<9

    d'ou
    11/9 < (8Uk+3)/(Uk+6) < 27/7

    or 1<11/9 (jusque la ca va)
    mais 27/7>3

    1 < Uk+1 < 27/7

    Je ne comprends pas ou ca bloque. Est-ce la facon de faire qui ne va pas ?

    Merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Romain BERTOUY

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    effectivement, tu n'arrives pas à trouver un majorant assez bon pour montrer que Un+1 < 3 (pour autant je n'ai pas dit que tu as faux)

    je vais te donner une autre piste pour sortir de cette galère :
    d'abord vérifie que :

    Un+1 = (8Un + 3)/(Un+6) = 8 - 45/(Un+6)

    ainsi, tu n'as qu'un encadrement à faire et tu finiras par trouver Un+1 < 3

    (solution :

    7 < Un + 6 < 9
    1/9 < 1/Un+6 < 1/7
    -45/7 < - 45/(Un+6) < -45/9
    (56-45)/7 < 8 - 45/(Un+6) < (72-45)/9

    11/7 < Un+1 < 27/9
    Alors 11/7 c'est plus grand que 1 et 27 / 9 c'est 3 donc c'est gagné)
    Romain

  4. #3
    azertylr

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    salut,
    j'ai essayer de faire avec 8-45/(Un+6) et effectivement ca marche

    merci beaucoup
    @bientot

  5. #4
    Pole

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    si Un=3, U(n+1)=(8*3+3)/(3+6)=27/9=3
    si Un=1, U(n+1)=(8*1+3)/(1+6)=11/7

    Plus qu'à démontrer que la suite est croissante (Un<=U(n+1) pour tout n).

    U(n+1)=(8*Un+3)/(Un+6)
    (Un+6)*Un<=8*Un+3
    Un^2+6*Un<=8*Un+3
    Un^2<=2*Un+3

    si Un<2 alors Un*Un<4 et Un*2>Un*Un
    si Un=2 alors Un^2=4 et Un*2+3=7 (4<=7)
    si Un>2 et <3 alors Un^2>4 (et <=9) et 2*Un+3>7 (et <=9)
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Pole

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    Le temps de réfléchir et quelqu'un à déjà posté.
    Pour comprendre la récursivité croisée, il faut comprendre les arbres d'appels. Et vice versa.

  8. #6
    Leonpolou

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    Ca marche en trois temps.

    Tu demondtre que la formule marche pour n=1 donc tu verifie que se soit vraie

    Ensuite tu admet que un est vraie, alors tu vois si ca marche avec un+1, Un+1 est vraie

    Enfin tu conclu.

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  10. #7
    Maketse

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    Comment avez - vous obtenu 8 - 45/(Un 6).
    Je suis un peu nul dans ce genre de demonstratio

  11. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration par recurrence et suite

    8Un+3=8(un+6) +...

    C'est une division du numérateur par le dénominateur, comme par exemple .

    Cordialement.

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