Bonjour,
Je bloque sur une demonstration par recurrence.
Il faut demontrer que 1<Un<3 pour tout entier n >(ou egal) a 1
Un+1 = 8Un+3/Un+6
J'ai fait :
11<8Uk+3<27
7<Uk+6<9
d'ou
11/9 < (8Uk+3)/(Uk+6) < 27/7
or 1<11/9 (jusque la ca va)
mais 27/7>3
1 < Uk+1 < 27/7
Je ne comprends pas ou ca bloque. Est-ce la facon de faire qui ne va pas ?
Merci d'avance
effectivement, tu n'arrives pas à trouver un majorant assez bon pour montrer que Un+1 < 3 (pour autant je n'ai pas dit que tu as faux)
je vais te donner une autre piste pour sortir de cette galère :
d'abord vérifie que :
Un+1 = (8Un + 3)/(Un+6) = 8 - 45/(Un+6)
ainsi, tu n'as qu'un encadrement à faire et tu finiras par trouver Un+1 < 3
(solution :
7 < Un + 6 < 9
1/9 < 1/Un+6 < 1/7
-45/7 < - 45/(Un+6) < -45/9
(56-45)/7 < 8 - 45/(Un+6) < (72-45)/9
11/7 < Un+1 < 27/9
Alors 11/7 c'est plus grand que 1 et 27 / 9 c'est 3 donc c'est gagné)
salut,
j'ai essayer de faire avec 8-45/(Un+6) et effectivement ca marche
merci beaucoup
@bientot
si Un=3, U(n+1)=(8*3+3)/(3+6)=27/9=3
si Un=1, U(n+1)=(8*1+3)/(1+6)=11/7
Plus qu'à démontrer que la suite est croissante (Un<=U(n+1) pour tout n).
U(n+1)=(8*Un+3)/(Un+6)
(Un+6)*Un<=8*Un+3
Un^2+6*Un<=8*Un+3
Un^2<=2*Un+3
si Un<2 alors Un*Un<4 et Un*2>Un*Un
si Un=2 alors Un^2=4 et Un*2+3=7 (4<=7)
si Un>2 et <3 alors Un^2>4 (et <=9) et 2*Un+3>7 (et <=9)
Le temps de réfléchir et quelqu'un à déjà posté.
Ca marche en trois temps.
Tu demondtre que la formule marche pour n=1 donc tu verifie que se soit vraie
Ensuite tu admet que un est vraie, alors tu vois si ca marche avec un+1, Un+1 est vraie
Enfin tu conclu.
Comment avez - vous obtenu 8 - 45/(Un 6).
Je suis un peu nul dans ce genre de demonstratio
8Un+3=8(un+6) +...
C'est une division du numérateur par le dénominateur, comme par exemple.
Cordialement.
