Démonstration par récurrence

[invite4e8412ad]

Qu'est-ce qu'une démonstration par récurrence ?
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[Quinto]

Vaste sujet.
Au lycée, c'est une démonstration qui se base sur le fait que tu montres qu'une propriété est vraie à un rang no.
Ensuite tu montres que si elle est vrai à un certain rang (quelconque) alors elle est nécessairement vrai au rang suivant.
Ca permet de montrer que la propriété est vrai pour tous les rangs n>=no

[Quinto]

Enfin pas qu'au lycée d'ailleurs, mais il en existent d'autres sortent et je ne les ai jamais vue en détails...

[invite4e8412ad]

A ok merci c'est bien ce que j'avais vu dans un livre mais ils expliquaient pas ce que ça voulait dire, à croire que c'était évident...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite143758ee]

je te rassure...la démonstration par récurrence est rappelée (avec la preuve) dans les livres de prépa que j'ai vu...
donc,ce n'est pas si trivial que ça.

[droupi]

Vaste sujet.
Au lycée, c'est une démonstration qui se base sur le fait que tu montres qu'une propriété est vraie à un rang no.
Ensuite tu montres que si elle est vrai à un certain rang (quelconque) alors elle est nécessairement vrai au rang suivant.
Ca permet de montrer que la propriété est vrai pour tous les rangs n>=no

Plus exactement que si une propriété est vrai au rang n est l'est également au rang n+1 et qu'elle est vrai pour le rang 1.

[invite4e8412ad]

je te rassure...la démonstration par récurrence est rappelée (avec la preuve) dans les livres de prépa que j'ai vu...
donc,ce n'est pas si trivial que ça.

Ouf lol Et dis moi, c'est si difficile de ça de faire la preuve de la démonstration par récurrence ?

[invite4e8412ad]

Voilà un site qui explique très bien le principe de la démonstration par récurrence : http://membres.lycos.fr/villemingera...n/Recurren.htm

[invite143758ee]

c'est si difficile de ça de faire la preuve de la démonstration par récurrence ?

non ! et je la trouve marrante, puisqu'il faut considérer l'ensemble des élements n tel que la proposition P(n) (que tu veux démontrer), est faux, ensemble noté Ef.
et démontrer "le raisonnement par récurrence" revient à demontrer que Ef , est vide, et ça se fait bien par l'absurde, et en s'aidant de la proposition " toute partie non vide de N possède un plus petit élément" dont je ne connais pas de démo...(n'hésitez pas à m'éclaircir les idées !)

en fait, je me suis trompé, ce n'est pas au programme de prépa de faire un cours de logique, et quand j'ai vérifié, en fait, cette démo n'est pas dans les livres de prépa...désolé, pour la désinfo NP85.

[Meumeul]

SAlut,

en tout cas, en creusant la démonstration, on doit nécessairement arriver aux axiomes de Péano je crois (axiomes minimaux), car la demonstration par récurrence est fondamentale a la construction de pas mal de trucs je crois....enfin au final on trouve qu'elles se "démontre" a partir d'axiomes !

[Quinto]

"toute partie non vide de N possède un plus petit élément" dont je ne connais pas de démo...(n'hésitez pas à m'éclaircir les idées !)"

N est inductif non?
Ca doit se faire avec le lemme de Zorn.

[invite4e8412ad]

Une partie non vide de N, ça veut dire quoi ? Axiomes kézako ? lol Désolé pour toutes ces questions lol.

[Rincevent]

en fait, je me suis trompé, ce n'est pas au programme de prépa de faire un cours de logique, et quand j'ai vérifié, en fait, cette démo n'est pas dans les livres de prépa...

elle y était encore y'a pas si longtemps que ça...

[invitef6a8dd1c]

Je verrais aussi ça à partir de l'axiome d'induction de Peano:
Si 0 est dans E et pour tout élément e de E, le successeur de e est dans E, alors E = N.

Soit une proposition P telle que, il existe n0, P(n0) est vraie, et pour tout n >= n0:
P(n) => P(n+1)

L'ensemble E des e tels que P(n0+e) est vraie vérifie l'axiome.

NjP85: Une partie non vide de N est une partie (un sous-ensemble) de N, qui contient au moins 1 élément.
Un axiome c'est une proposition que tu poses comme vraie, et qui ne se démontre pas.

Geoffrey

[invite4e8412ad]

Qu'entends-tu par élément ? Pourrais-tu me donner un exemple ? Merci de vos réponses

[invitebb921944]

0,1,2,3,4,5,...,84569 sont des élements de N
-1552,-5,0,6,4523 sont des éléments de Z
2/3 est un élément de R
2/3 n'est pas un élément de N, ni de Z

Bon voila je suppose que t'as compris.
Un élément de E, c'est quelque chose qui appartient à l'ensemble E
(du moins jusqu'en terminale S, après je sais pas je verrai l'année prochaine)

[invite4e8412ad]

Merci de ta réponse très clair Ganash mais comment une partie pourrait-elle être vide ?

[Meumeul]

Par element, on entend 'objet' quelconque. L'ensemble {clavier sur lequel je tape} est un ensemble non vide. En fait le nom dit tout !

En fait, on passe par les termes d'elements ou d'objet pour pouvoir generaliser les structures et leurs propriétés(c'est du domaine de l'algebre) independamment de ce qu'il y a dedans.

Des exemple plus 'mathématiques' sont :
- {0} (le zero reél);
- {t->0} (la fonction nulle)....
ou tout autre ensemble ....non vide , qui contient un OBJET quelconque.

OUPS Ganash a ete plus rapide

[Meumeul]

pour l'ensemble vide par exemple :
l'ensemble des réels x tels que x>x

[invite4e8412ad]

L'ensemble des rationnels sont biens des entiers que le peut mettre sous forme de fraction, n'est-ce pas ? Ou bien des réels ?

[invitebb921944]

Non les rationnels sont des nombres que l'on peut mettre sous fraction

2/3 n'est pas un entier mais on peut le mettre sous forme de fraction, donc 2/3 est rationnel
Tous les rationnels sont des réels mais tous les réels ne sont pas rationnels.
pi est réel mais n'est pas rationnel

[invitebb921944]

Tiens va voir ici tout est expliqué (au niveau des ensembles de nombres) :

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Type/Reels.htm

[invitecd42c963]

Bonjour,

Un nombre rationnel est un reel qui peut s'ecrire sous la forme d'un rapport entre 2 nombres entiers:
2/3 est un rationnel, Pi ou racine(2) ne sont pas rationnels.

Et bien sur, l'ensemble des reels contient celui des rationnel (tout nombre rationnel est reel, mais pas l'inverse). Et l'ensemble des rationnels contient celui des entiers, puisque tout entier n peut s'ecrire sous la forme d'un rapport de 2 entiers: n/1.

J'espere que cette petite explication t'aura eclairci les idees.

[invitebb921944]

En fait, on a :

N inclu dans Z
Z inclu dans D
D inclu dans Q
Q inclu dans R

N entiers positifs
Z entiers relatifs
D nombres décimaux
Q nombres rationnels
R nombres réels

[invite4e8412ad]

Tiens va voir ici tout est expliqué (au niveau des ensembles de nombres) :

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Type/Reels.htm

Merci Ganash pour cet excellent site qui résume très bien toutes les familles de nombres Et merci à tous les autres pour vos réponses

[Quinto]

Non pas du tout, 1/3 est rationnel et n'est pas entier.
6/3 est entier mais c'est aussi un rationnel.

Les rationnels sont des réels.

edition:
oups désolé, j'ai cru que j'étais en fin de page, mais non, il y'avait plusieurs messages après, je répond dans le vide et suis donc hors sujet désolé...

[invite143758ee]

on peut le montrerà partir de l'axiome d'induction de Peano

donc, il se peut qu'il faille abandonner le raisonnement par récurrence dans certains systèmes d'axiomes...puisque le théorème ne pourra pas se démontrer.

existe t il de tels mathématiques intéressantes ?

[doryphore]

Libre à toi de faire des mathématiques sans les nombres et les cardinaux mais je doute que ce soit très agréable.

[invite143758ee]

je sais pas, je lisais récemment qu'abandonner certains axiomes peut être assez prolifique, comme les maths intuitionistes (non classique)...

mais alors, il semble que le fait même de considérer les entiers dans dans la théorie, implique que le raisonnement par récurrence est bon!

mais si je ne raisonne pas avec des entiers ?
sinon,
est-ce que la cohérence de la théorie des ensembles nécessite la notion de sucesseur ?

[invite143758ee]

non, je suis bête, pour le raisonnement par récurrence, il faut une propriété P qui dépend 'un entier...

existe t il un équivalent de ce théorème mais qui serait défini sans entier? (bon, ok, j'arrête mes questions méta-mathématques..)