Démonstration par récurrence

[doryphore]

Tiens, j'ai trouvé ça sur le net:
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...ue/entiers.pdf
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[invited2fcd164]

Bjr! J'ai 1 problème de math à résoudre, je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider SVP?

Soit x > ou égal à -1 un réel fixé. Démontrer l'assertion suivante par récurrence :

quelque soit n appartenant à N, (1+x)^n > ou égal à 1+nx


C'est très urgent, alors merci de me répondre rapidement!!!

Désespérée...

[invite0ae3ab06]

Bjr! J'ai 1 problème de math à résoudre, je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider SVP?

Soit x > ou égal à -1 un réel fixé. Démontrer l'assertion suivante par récurrence :

quelque soit n appartenant à N, (1+x)^n > ou égal à 1+nx


pour n=0:
(1+X)^0=1
1+0*X=1
on a bien (1+X)^0>ou=1+0*X

ensuite il faut démontere que si c'est vrai au rangn, cela est également vrai au rang n+1
si c'est vrai au rang n:
(1+x)^n > ou égal à 1+nx
(1+x)^(n+1)= [(1+x)^n]*(x+1)
or X>ou=-1, donc (x+1)>ou=0
d'ou
(1+x)^n > ou égal à 1+nx équivaut a:
(1+x)^(n+1) > ou égal à (1+nx)*(1+x)
Or:
(1+nx)*(1+x)=1+(n+1)x+nx²
or nx²>ou=0
donc:
1+(n+1)x+nx²>ou=1+(n+1)x
on a donc:
(1+x)^(n+1) >ou=1+(n+1)x

[invite59e51aa0]

la recurence c'est comme une rangée de table si on
déplace la premiére toutes les autres tables se déplaent

[invite59e51aa0]

Qu'est-ce qu'une démonstration par récurrence ?

la recurence c'est comme une rangée de table si on
déplace la premiére toutes les autres tables se déplaent

[invite4ef352d8]

ba le principe de la recurence ne ce demontre pas, c'est une proprieté fondamental de N !
apres tous depend de comment on definit N...

dans mon cours de SUp on avait prit dans les propriété fondamental de N que toute parti non vide a un plus petit elements. avec sa on peut effectivement demontrer le principe de recurence.

si on construit N inductivement la principe de recurence est un sous cas du raisonement par induction.

et on peut aussi definir N de telle sortes que le principes de recurence deviennent un axiome...