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Nombre dérivé 1ère S



  1. #1
    StaN_

    Nombre dérivé 1ère S


    ------

    Salut tout le monde !

    Alors j'ai un problème en ce qui concerne un point de cours sur les nombres dérivés .

    Je n'ai pas bien saisi le concept . Je sais qu'on doit calculer le Taux de variation d'une fonction f . Mais je n'ai pas totalement compris à quoi çà sert . Je sais calculer le dérivé d'un nombre , mais mon prof n'a pas bien expliqué du tout ce que c'était ...

    Si quelqu'un pourrait brièvement m'en parler , ce serait sympa.

    Merci d'avance à tous .

    -----

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  3. #2
    maxevans

    Re : Nombre dérivés 1ère S

    Seule une fonction continue est dérivable.

    Mais tu peux calculer la valeur de f' en x0 par exemple ce qui t'es utile si f n'est pas derivable en x0 auquel cas tu ne peux pas utiliser la derivé

    donc tu dis que f'(x0)= lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0), quand x->x0)

  4. #3
    martini_bird

    Re : Nombre dérivés 1ère S

    Salut,

    Citation Envoyé par maxevans
    Seule une fonction continue est dérivable.
    Non c'est faux. Une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.

    Cordialement.

  5. #4
    StaN_

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Qu'est-ce qu'une fonction continue par rapport à une autre fonction ?

  6. #5
    martini_bird

    Re : Nombre dérivés 1ère S

    S'il existe, le nombre dérivé d'une fonction en un point x c'est la pente de la tangente au point d'abscisse x de la courbe représentative. C'est aussi la limite du taux d'accroissement en ce point quand elle existe.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par StaN_
    Qu'est-ce qu'une fonction continue par rapport à une autre fonction ?
    Naïvement, c'est une fonction dont on peut tracer la courbe représentative sans lever le crayon.

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  10. #7
    matthias

    Re : Nombre dérivés 1ère S

    Citation Envoyé par maxevans
    Seule une fonction continue est dérivable.
    Condition nécessaire mais pas suffisante. Très ambigu ici.
    Une fonction dérivable est toujours continue.
    Une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.

    Citation Envoyé par maxevans
    Mais tu peux calculer la valeur de f' en x0 par exemple ce qui t'es utile si f n'est pas derivable en x0 auquel cas tu ne peux pas utiliser la derivé

    donc tu dis que f'(x0)= lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0), quand x->x0)
    Si f n'est pas dérivable en x0 tu ne peux pas calculer la valeur de f' en x0 !!!
    Et ta formule est la définition de la dérivée (quand la limite existe), pas une formule alternative.

    Pour Stan, tu vas très bientôt voir à quoi ça sert : tracer le tableau de variations d'une fonctions, détermination des tangentes, des minima et maxima, etc.

    [EDIT: léger carambolage ]

  11. #8
    StaN_

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Merci pour toutes ces précisions . Je comprend ce qu'est une fonction continue à présent . Par exemple , la fonction inverse n'est pas continue ?

    Ensuite , en ce qui concerne la tangente , je viens de voir que le dérivé d'un nombre est égal au coefficient directeur de la tangente en ce point . C'est exact ?

    PS: Je ne saisis pas très bien le concept de tangente . C'est une droite qui passe par un point d'une courbe : ok . Mais comment déterminer sa direction ?

  12. #9
    matthias

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par StaN_
    PS: Je ne saisis pas très bien le concept de tangente . C'est une droite qui passe par un point d'une courbe : ok . Mais comment déterminer sa direction ?
    Ce n'est pas seulement une droite qui passe par un point, une sécante pourrait faire cela aussi. Dans la plupart des cas c'est la droite qui passe par un point sans traverser la courbe, mais ce n'est pas toujours vrai (points d'inflexion notamment).
    Pour une définition plus rigoureuse, on en revient à la position limite de la droite MM0 quand M "tend" vers M0 avec M et M0 deux points de la courbe (c'est à dire la droite qui passe par M0 et de coefficient directeur le nombre dérivé justement). Il est plus rigoureux de définir la tangente à partir de la dérivée que de faire l'inverse, sinon il faut traiter tous les cas bizarres.

  13. #10
    julien_4230

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par matthias
    Une fonction dérivable est toujours continue
    Pour un intervalle donné.

    Citation Envoyé par StaN_
    la fonction inverse n'est pas continue ?
    x->1/x est continue sur ]-oo;0[U]0;+oo[. Il faut toujours définir l'intervalle quand on parle de continuité

  14. #11
    prgasp77

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par julien_4230
    Citation Envoyé par StaN_
    la fonction inverse n'est pas continue ?
    x->1/x est continue sur ]-oo;0[U]0;+oo[. Il faut toujours définir l'intervalle quand on parle de continuité
    x->1/x est continue sur R\{0}, et elle n'est pas continue sur R. Tu as du le remarquer, il est impossible de la tracer sans lever le crayon, sauf si on la trace "en deux fois" (par intuition, elle est alors continue sur deux intervalles différents, [-oo;0[ et ]0;+oo[).


    Pour la notion de dérivée, tu peux tenter de te la représenter, par intuition. Il s'agit de "zoomer" sur un point de la courbe, "zoomer" énormément de telle façon que la courbe fini par ressembler à une droite (à très grande échelle). La tangente est cette "droite".
    Mais comme il a été dit, il vaut mieux la définir à partir de la dérivée, ce qui est fait un peu plus tard en 1èreS.

    Bonne chance à toi.
    --Yankel Scialom

  15. #12
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par prgasp77
    x->1/x est continue sur R\{0}, et elle n'est pas continue sur R.
    Bah comme elle n'est pas définie sur IR, elle ne risque pas d'être continue...

    Un exemple un peu plus convaincant (sauf ton respect): la fonction qui est nulle sur ]-oo, 0] et vaut 1 sur ]0, +oo[ (fonction de Heaviside). Elle est définie sur IR, continue sur ]-oo, 0[u]0, +oo[ mais pas continue en 0.

    Notons aussi qu'il existe des fonctions continues nulle part et des fonctions continues sur IR dérivables nulle part... Mais c'est une autre histoire.

    Cordialement.

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  17. #13
    prgasp77

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par martini_bird
    Bah comme elle n'est pas définie sur IR, elle ne risque pas d'être continue...

    Un exemple un peu plus convaincant (sauf ton respect): la fonction qui est nulle sur ]-oo, 0] et vaut 1 sur ]0, +oo[ (fonction de Heaviside). Elle est définie sur IR, continue sur ]-oo, 0[u]0, +oo[ mais pas continue en 0.

    Notons aussi qu'il existe des fonctions continues nulle part et des fonctions continues sur IR dérivables nulle part... Mais c'est une autre histoire.

    Cordialement.
    Bien entendu que ton exemple est plus parant. Mais je ne voulais pas que l'auteur du sujet pense avoir tord lorsqu'apprenant la définition intuitive de la continuïté s'est aperçu qu'il possédait des exemples de fonctions non continues.

    En revanche, je veux bien un exemple de fonction continue partout et dérivable nulle part.
    --Yankel Scialom

  18. #14
    StaN_

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Merci beaucoup pour ces explications , mais pour en revenir aux tangentes . Il me semble qu'on m'avait donné une autre définition il y a quelques années de çà , mais en ce qui concerne la tangente d'un cercle . Quelle est-elle ?

    PS: Est-ce qu'il peut y avoir une seule tangente par point d'une courbe ?

  19. #15
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par prgasp77
    Bien entendu que ton exemple est plus parant. Mais je ne voulais pas que l'auteur du sujet pense avoir tord lorsqu'apprenant la définition intuitive de la continuïté s'est aperçu qu'il possédait des exemples de fonctions non continues.
    That's right, j'ai eu la même hésitation.

    Citation Envoyé par prgasp77
    En revanche, je veux bien un exemple de fonction continue partout et dérivable nulle part.
    Ah ah, that's the big deal!

    Alors voici un procédé: on prend une fonction affine par morceaux sur chaque intervalle [n, n+1]. On choisit des valeurs et on construit la fonction affine par morceaux sur chaque intervalle [n, n+1/2] et [n+1/2, n] telle que . Reste plus qu'à itérer le processus pour construire affine par morceaux sur les intervalles [x, x+1/4] où x=n/4. Puis , etc... En passant à la limite on obtient une fonction continue par construction et dérivable nulle part.

    Sinon, il y a aussi cette fonction: .

    Cordialement.

  20. #16
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par StaN_
    Merci beaucoup pour ces explications , mais pour en revenir aux tangentes . Il me semble qu'on m'avait donné une autre définition il y a quelques années de çà , mais en ce qui concerne la tangente d'un cercle . Quelle est-elle ?

    PS: Est-ce qu'il peut y avoir une seule tangente par point d'une courbe ?
    Une tangente à une courbe est une droite qui réalise un contact d'ordre , c'est-à-dire que "localement elle touche la courbe sans la traverser".

    D'ailleurs autrefois on ne disait pas tangente mais touchante.

    Cordialement.

  21. #17
    matthias

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par StaN_
    Il me semble qu'on m'avait donné une autre définition il y a quelques années de çà , mais en ce qui concerne la tangente d'un cercle . Quelle est-elle ?
    Oui le cercle fait partie des courbes où tout se passe sans problème. Une tagente à un cercle est une droite qui a un unique point d'intersection avec le cercle

    Citation Envoyé par StaN_
    PS: Est-ce qu'il peut y avoir une seule tangente par point d'une courbe ?
    Une courbe qui n'a pas de point double (les graphes de fonctions notamment) admet au plus une tangente par point. Mais elle n'admet pas forcément de tangente en chaque point.

  22. #18
    matthias

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par martini_bird
    c'est-à-dire que "localement elle touche la courbe sans la traverser".
    et les points d'inflexion ?

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  24. #19
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par matthias
    et les points d'inflexion ?
    D'où les guillemets!

    C'était simplement pour faire sentir la chose.

  25. #20
    StaN_

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Donc , en fait , la définition d'une tangente est un peu brouillion si on ne parle pas d'abord de dérivé ?

  26. #21
    martini_bird

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    Citation Envoyé par StaN_
    Donc , en fait , la définition d'une tangente est un peu brouillion si on ne parle pas d'abord de dérivé ?
    Oui et non.

    Tu verras que la fonction admet une tangente à l'origine alors qu'elle n'y admet pas de nombre dérivé.

    Mais à ton niveau en effet, la tangente à un point d'une courbe est définie par le nombre dérivé.

    En réalité la bonne notion pour définir les tangentes est celle de contact, qui est une notion différentielle, mais c'est une autre histoire...
    Dernière modification par martini_bird ; 08/12/2005 à 17h52.

  27. #22
    StaN_

    Re : Nombre dérivé 1ère S

    On en parlera dans quelques temps , en tout cas merci tout le monde pour tout ! Je vais pouvoir bien réviser ma leçon en vue du contrôle vendredi prochain ! J'ouvrirais une discussion prochainement pour vérifier mes exercices !

    Amicalement.

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