3cos(x)+4sin(x)=5/2

[invite00919dc5]

Bonjour , je n arrive pas à résoudre ce problème, y a t il un moyen de le faire avec les formules de trigonométrie de base qui m'aurait échappé ?

énoncé:Résoudre 3cos(x)+4sin(x)=5/2
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[gg0]

Bonjour.

est une fonction sinusoïdale, et peut s'écrire ce qui te ramènera à un sinus égal à 0,5. Je te laisse trouver le .

Cordialement.

[invitec3143530]

http://www.mash.dept.shef.ac.uk/Reso...a-alphaetc.pdf

[invite00919dc5]

Comment sait-on cela ? je ne vois pas comment tu es parvenu à dire que 3cosx+4sinx = 5sin(x+O)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

C'est plus clair si on écrit votre équation sous la forme :
3/5 cos(x)+ 4/5 sin(x) = 1/2

Réfléchissez à ce que l'on peut dire de (3/5, 4/5) ?

[invite00919dc5]

Ok merci, je ne connaissais pas cela ...

[invite00919dc5]

On pourrait les exprimer en fonction d'un cosinus et sinus mais aprés pour retrouver l angle correspondant je ne verrai pas comment faire

[gg0]

Il s'agit d'un technique classique sur les sommes de fonctions sinusoïdales de même fréquence. On étudie cela en BTS ou IUT. On le voyait aussi autrefois dans certaines premièresw STI.
En égalant les deux formes (une fois la deuxième développée), on voit assez vite d'où vient le 5.

Cordialement.

[invite936c567e]

On pourrait les exprimer en fonction d'un cosinus et sinus mais aprés pour retrouver l angle correspondant je ne verrai pas comment faire

Il faut tirer parti de l'identité remarquable :

sin(a+b) = sin(a).cos(b)+cos(a).sin(b)

Dans l'égalité 3.cos(x)+4.sin(x)=5/2 , le terme de gauche doit être perçu sous la forme A.cos(x).sin(Φ)+A.sin(x).cos(Φ ) , qui vaut A.sin(x+Φ).

Ainsi, en ayant identifié A.sin(Φ) et A.cos(Φ), on peut faire le rapport des deux pour trouver la valeur de tan(Φ), puis celle de Φ (à un angle π près), et enfin celle de A (au signe près, en fonction de Φ).

Finalement, A et Φ étant connus, A.sin(x+Φ) donne la valeur de x (à un angle 2π près).

[inviteaf1870ed]

C'est une méthode classique en physique : l'expression acos(t)+bsin(t) peut s'écrire, si l'on pose A=racine(a²+b²) (qui n'est pas nul) a/A cos(t) + b/A sin(t)
En intérprétant a/A et b/A comme des sinus et cosinus d'un angle PHI, on peut réécrire l'expression initiale en Acos(t+PHI) ou Asin(t+PHI) suivant les besoins.