graphe fermé

[inviteb1ef7d0e]

bonjour , je bloque pour répondre à une question et j'aurais aimé avoir quelques conseils si possible :

On note L1=L1(R,m) où m est la mesure de lebesgue sur R , muni de ||f||1
soit g:R->R une application continue , on pose
D(Tg)={f € L1, gf € L1 }
et pour tout f de D(Tg) , Tg(f)=gf .

J'ai d'abord montré que D(Tg) est dense dans L1 et je dois montrer que le graphe de Tg est un fermé de L1XL1.

Le théorème du graphe fermé ne permet pas de conclure puisque Tg peut etre non continue .

merci d'avance pour votre aide ...
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[Quinto]

De toute facon le théorème du graphe fermé ne dit pas qu'un graphe est fermé, il prend pour hypothèse qu'un graphe est fermé et affirme que f est continue (modulo d'autres hypothèses).
A+

[inviteb1ef7d0e]

merci Quinto .
dans mon cours j'ai pourtant le théorème du graphe fermé suivant :
si X et Y sont de Banach et T une application linéaire de X dans Y , alors T est continue si et seulement si le graphe de T est un fermé de X X Y.

comme L1 est de Banach , et que Tg € L(L1,L1) , d'apres le théorème , si Tg était continue , le graphe serait un fermé de L1xL1.

seulement Tg n'est pas forcément continue ( c'est précisé dans l'énoncé ) et ce que je trouve bizarre , c'est que je dois montrer que le graphe est fermé , or meme si le théoreme ne marchait que dans un sens , ca voudrait dire que Tg est continue .????

[martini_bird]

Salut,

peut-être qu'il faut simplement le faire "à la main": prendre un point (x,y) dans l'adhérence du graphe et démontrer qu'il existe une suite (f_i, T_gf_i) qui converge vers (x,y)?

En appliquant ensuite le théorème du graphe fermé, tu devrais en conclure que T_g est continu (tu dis que T_g n'est pas forcément continu, mais tu as un contre-exemple? Si c'est le cas, le graphe ne peut pas être ferm&#233.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Le théorème du graphe fermé ne prend il pas D(T) fermé pour hypothèse?
Ici il est seulement dense.

[martini_bird]

Salut,

ah ben oui... Du coup vous pouvez oublier la seconde partie de mon dernier message.

Cordialement.

[Quinto]

Si tu prends un exemple simple, du genre g=id, je pense qu'on bloque sur la continuité effectivement. Peut etre qu'on l'a mais c'est non trivial.
A+