Mesure de Lebesgue

[invite7059ad3e]

Soit B une partie de R telle que pour tout x ∈ R il existe b ∈ B tel que x − b ∈ Q. Montrer que si
B est Lebesgue-mesurable alors (B) > 0.

J'arrive pas comment commencer.

Merci a votre aide.
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[Tiky]

Un petit bonjour ne serait pas de trop...
Je reformule légèrement ton énoncé :


Je note avec q un rationnel.
- Que peux-tu dire de l'ensemble .
- Que vaut sachant que désigne la mesure de Lebesgue ?

[invite7059ad3e]

Bonjouuuuuuuuuuur

Je suis vraiment desole... vous avez raison!

je comprend ce que vous ecrivez, on la union(B+q) = R et on a lambda(B+q)=lambda(B) mais comment on deduit que il est positve?

Merci beaucoup

[invite7059ad3e]

Rebonjour,

Je pense que je la trouvé.

on a: somme(q rationnelle) lambda(B+q) > lambda(R)= infini

car B+q sont disjoint.

mais lambda(B+q)=Lambda(B)

sa donne : somme (q rationelle) lambda(B) > infini.

alors lambda(B) est positive.


est-ce que c'est l'idee?

Merci beaucoup pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

C'est l'idée mais vous faites quelques erreurs. Déjà il n'y a aucune raison que les B+q soient disjoints mais ce n'est pas grave car
la mesure de l'union dénombrable d'une famille de boréliens est toujours inférieure ou égale à la somme des mesures de ces boréliens, on a donc :
où est une énumération des rationnels.

Je te rappelle qu'en théorie de Lebesgue, on prend la convention . Donc si alors , c'est absurde.

[invite7059ad3e]

Merci beaucoup pour votre aide!
J'ai compris