Autocovariance et résultat

[bird12358]

Bonjour,
J'ai trouvé une série d'exercice qui explique comment calculer l' autocovariance dans le cadre du calcul de la partie Ma(q) d'un modèle ARMA(p,q). Le seul problème c'est que je ne pige pas trop comment ca marche.
Je vous enonce le problème:
On a un signal y(t) = mu + u(t) + O1 * u(t-1) on suppose que E(u(t)) = 0 (la moyenne) et la variance Var(u(t)) = sigma²
On a E(y(t)) = mu La variance Var(y(t)) = Var(mu + u(t) + O1 * u(t-1)) = 0 = sigma²+ 01*sigma². Déja cette partie là, je ne comprend pas comment il arrive a trouver cette valeur pour la variance??

Ensuite La covariance Cov(y(t)y(t-1)) = Cov(mu + u(t) + O1 * u(t-1) ,mu + u(t-1) + O1 * u(t-2) )= E[ y(t) - E[y(t)]][ y(t-1) - E[y(t-1)]] = E[(u(t) + O1 * u(t-1))(u(t-1) + O1 * u(t-2))] et la il trouve 01*sigma²


Je ne sais pas comment il arrive à trouver ces résultats.
Quelqu'un pourrait m'aider à éclaircir cette partie??
D'avance merci.
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[gg0]

Bonsoir.

Je ne connais pas les modèles ARMA, mais voilà quelques idées :
Var(y(t)) = Var(mu + u(t) + O1 * u(t-1)) = 0 + sigma²+ 01*sigma²
On suppose probablement que les U(t) sont indépendants les uns des autres. Ils sont aussi indépendants de la constante. Donc les variances s'ajoutent. Et comme u(t-1) est globalement la même variable aléatoire que u, elles ont la même variance.

Cov(y(t)y(t-1)) = Cov(mu + u(t) + O1 * u(t-1) ,mu + u(t-1) + O1 * u(t-2) )= E[ y(t) - E[y(t)]][ y(t-1) - E[y(t-1)]] = E[(u(t) + O1 * u(t-1))(u(t-1) + O1 * u(t-2))]
Il y a une expression parasite, je l'élimine :
Cov(y(t)y(t-1))= E[ y(t) - E[y(t)]][ y(t-1) - E[y(t-1)]] = E[(u(t) + O1 * u(t-1))(u(t-1) + O1 * u(t-2))]
Toujours avec l'indépendance et la linéarité de E :
Cov(y(t)y(t-1)=E[u(t)u(t-1)+O1u(t)u(t-2)+O1u(t-1)²+O1²u(t-1)u(t-2)]
=E(u(t))E(u(t-1))+O1E(u(t))E(u(t-2))+O1E(u(t-1)²)+O1²E(u(t-1))E(u(t-2)).

On connait toutes les espérances (nulles) sauf celle de u(t-1)²
Mais E(u(t-1)²)=V(u(t-1))+E(u(t-1))² (formule de la variance) =V(u(t-1))=sigma²

Cordialement.

[bird12358]

Dsl pour la réponse tardive.
Merci pour la réponse.

[gg0]

De rien.

je ne connaissais pas, j'ai appris quelque chose de nouveau !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]