fermé

[369]

Bonjour,

J'aimerai votre avis sur cet exo

Soit (E,||.||) un espace vectoriel normé sur R et soient A et B des parties de E.
Montrer que si A est une partie compacte et B une partie fermée alors A+B est une partie fermée

Soit (Un) une suite convergente de A+B, Un-->l
il existe une suite (Vn) de A et (Wn) de B tel que Un=Vn+Wn
comme A est compact, (Vn) admet une suite extraite convergente --->a
soit une suite extraite de (Un), --->l
soit une suite extraite de (Wn), on a . Par passage à la limite on a -->l-a.
Comme B fermé, l-a est dans B
en écrivant l=a+(l-a). On a l dans A+B

est ce juste?


merci
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[indian58]

Ouais c'est bon.