A + Z fermé

[invite02f19616]

Bonjour,
je bloque sur un petit exo,
1) A un ensemble fini (inclu dans R)
Montrer que A+Z un est fermé

2) Est-ce que A fermé ==> A + Z fermé

merci de votre aide
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[invite4ef352d8]

Salut !

la 1 est relativement facile : il y à plein de methode, en voici une assez économique :

on considère f:R->S¹, t->exp(2i*Pi*t) (S¹ le cercle unité dans C)
c'est une application continu.

alors on a A+Z=f^(-1)(f(A))
or f(A) est une partie fini de S¹ donc fermé donc f^(-1)(f(A)) est un fermé.

sinon on peut montrer de facon général que si F est un fermé et K un compact d'un espace vecotirelle alors F+K est fermé


pour la 2) regarde le cas ou A=sqrt(2).Z : A est fermé, mais A+Z est dense dans R...