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A + Z fermé



  1. #1
    madininais

    A + Z fermé


    ------

    Bonjour,
    je bloque sur un petit exo,
    1) A un ensemble fini (inclu dans R)
    Montrer que A+Z un est fermé

    2) Est-ce que A fermé ==> A + Z fermé

    merci de votre aide

    -----

  2. #2
    Ksilver

    Re : A + Z fermé

    Salut !

    la 1 est relativement facile : il y à plein de methode, en voici une assez économique :

    on considère f:R->S¹, t->exp(2i*Pi*t) (S¹ le cercle unité dans C)
    c'est une application continu.

    alors on a A+Z=f^(-1)(f(A))
    or f(A) est une partie fini de S¹ donc fermé donc f^(-1)(f(A)) est un fermé.

    sinon on peut montrer de facon général que si F est un fermé et K un compact d'un espace vecotirelle alors F+K est fermé


    pour la 2) regarde le cas ou A=sqrt(2).Z : A est fermé, mais A+Z est dense dans R...

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