Un fermé borné...

[Gpadide]

Bonjour, une matrice (resp. un vecteur) est dit positif ssi tous ses coeffs sont positifs.
Je cherche a montrer que l'ensemble des a de R+ tels que ax<Tx ou T est une matrice positive, est un fermé.
Pour cela je considere l'application de R+ dans R définie par a->(Tx-ax)_i (le i veut dire la ieme coordonée).
Elle est continue (car ||x|| lipschitzienne). Il ne reste donc plus qu'a montrer que l'ensemble image est un fermé borné pour montrer ce que je cherche mais je ne trouve pas l'argument nécessaire. Pouvez vous m'aider ?
Si vous avez une autre methode c aussi bienvenu (=
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[Gwyddon]

Salut

x est un vecteur quelconque dans l'affaire ? En gros est-ce "a tel que pour tout x blablaba" ?

[GuYem]

Salut, je ne vois pas à quoi mça sert de montrer que l'image de ton application est bornée.

Pour ma part je ne serais pas du tout parti comme ça, j'aurais essayé avec une suite de a_n qui converge vers un certain et montré que ce a vérifie bien la condition qu'il faut.

[Gpadide]

Salut, je ne vois pas à quoi mça sert de montrer que l'image de ton application est bornée.

Pour ma part je ne serais pas du tout parti comme ça, j'aurais essayé avec une suite de a_n qui converge vers un certain et montré que ce a vérifie bien la condition qu'il faut.

Oui c'est la définition meme de la compacité, mais je n'arrive pas a mettre en oeuvre cette methode...

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Non, c'est la définition de la fermeture.

Il faut montrer que l'ensemble des a qui vérifient la propriété est fermé borné ou seulement fermé ?

[Gpadide]

Fermé Borné. Mais pour montrer qu'il est borné j'y arrive (en utilisant les coordonnées de T et x)

[GuYem]

Ah d'accord.

Eh bien pour monter la fermeture, il me semble que la définition séquentielle de la fermeture est facile à appliquer ici :

Tu prends une suite a_n de points qui sont dans ton ensembles, tu supposes qu'elle converge vers un certain a. Il faut montrer que a est dans ton ensemble.
Mais cela est facile puisque pour tout x, pour tout n tu as a_n.X <= TX .. et je te laisse conclure.

[Gpadide]

On a le droit de dire que par passage a la limite, les inégalités larges sont conservées ? Si on considere chaque coordonnée, ca me semble correct ...merci de confirmer (=

[Gwyddon]

Oui, c'est tout juste

[GuYem]

Oui c'est juste. En fait ce qui fait que ton machin est fermé, c'est que l'inégalité qui le définit est large.

Elle aurait été stricte, il y a fort à parier qu'il aurait été ouvert