Coefficients de fourrier

[invite43b7340f]

Bonjours,
alors voila, je viens de commencer le cours sur les séries de fourrier et je me posais quelques questions
Si f est une fonction T-périodique continue et de dérivé continue ( ou continue par morceaux) alors Ck(f)=o(1/k) car :
- Ck(f)=Ck(f')/iwk ( ou w est la pulsation de f et Ck coefficient de fourrier, k non nul)
- (Ck(f')) converge vers 0 d'apres le lemme de lebesgue

Ce que j'ai écrit est vrai? donc (Ck(f)) est de carré sommable ?
Enfin, est-ce que (Ck(f)) est sommable ? ( je sais que c'est le cas si f est plus de deux fois dérivable, mais si f ne l'est qu'une fois ?)

Merci de vos réponses
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[invite705d0470]

Bonjour,
oui, c'est correct. Juste une question: qu'est ce que "le" lemme de Lebesgue, exactement ?
Je pose cette question a cause de ça:

donc (Ck(f)) est de carré sommable ?

. (une ' qui a sauté peu être ?).
Je vais juste dire deux trois choses, mais peut être qu'elles sont déjà très claires !
-Commençons par une fonction f continue par morceaux (le "minimum" dans nos programme), T périodique.
est une suite de carré sommable: c'est l'inégalité de Bessel qui le donne.
Pour la comprendre, on peut regarder f comme un vecteur des fonctions CPM, T périodiques. Sur cet espace des fonctions, on regarde le "produit scalaire" (ce n'en est pas tout à fait un !) . Si on note l'espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré au plus N (les e sont des exponentielles), alors on voit que .
Et on interprète comme le "projeté" de f sur Pn.
Bien sûr, on a ici une semi-norme (qui devient une norme si on se place sur les fonctions continues) mais l'inégalité de Pythagore reste vraie. Autrement dit, S_{n}(f) vérifie toutes les propriétés du projeté (distance au sev).
Et justement, on applique Pythagore pour avoir , puis, la base des exponentielles étant une base ortho-normée pour le produit scalaire, .
Bref, la suite des coefficients de Fourier est toujours de carré sommable (pour des fonctions continues par morceaux)

En conséquence , c_{n}(f) admet une limite nulle ! C'est celà pour moi le lemme de Lebesgue.

- Maintenant, prenons une fonction C1 par morceaux. Il s'avère qu'on peut aussi montrer la relation (d'abord on se restreint à une subdivision, puis on intègre par parties, on fait attention aux termes de bords, cependant gérables car la dérivée se prolonge continûment sur chaque subdivision, puis on voit une somme télescopique et le tour est joué).

- Si je ne me trompe pas, la question

est-ce que (Ck(f)) est sommable ?

revient à savoir si être un entraine la convergence de la série, ce qui est bien sûr faux: diverge par exemple.

PS: la dernière question est sans doute plus subtile que ça, car on a perdu de l'information en réduisant les coefficients à cette comparaison (typiquement que cn(f') sont de carré sommable) mais je crois malgré tout que celà est faux.

[albanxiii]

Bonjour,

Juste une question: qu'est ce que "le" lemme de Lebesgue, exactement ?

Je parie sur le lemme de Riemann-Lebesgue http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...emann-Lebesgue

@+

[invite705d0470]

Je disais cela car ce théorème est hors programme dans sa forme la plus générale, alors que la conséquence due à l'étude sur Fourier l'est.

[A voir en vidéo sur Futura]