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[Analyse] Th. de la mesure et exemples



  1. #1
    Sephi

    [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Bonjour
    Je me construis une liste d'exemples de divers objets. Si vous pouviez m'aider, m'aiguiller, me donner des indices

    On note la -algèbre de Borel.

    Donc, je cherche des exemples :
    - d'une mesure sur telle que toute fonction mesurable appartienne à
    - d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?
    - d'une fonction telle que sa transformée de Fourier
    - de fonction à support non compact telle que pour tout

    Je cherche encore d'autres exemples à demander ...

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Salut,
    je commence par les faciles.
    Citation Envoyé par Sephi
    - d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?
    Tu ne rêves pas...
    Citation Envoyé par Sephi
    - de fonction à support non compact telle que pour tout
    fait l'affaire.

    Cordialement.

  4. #3
    Sephi

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Je cherche également des liens entre un espace Lp et son dual Lq (pour 1/p + 1/q = 1). Mon cours n'est pas très clair dessus, alors je ne visualise pas très bien pourquoi on les définit.



    PS : Comment tu fais le symbole pour l'indicatrice ? Le 1 avec la double barre ?
    Dernière modification par Sephi ; 08/01/2006 à 22h46.

  5. #4
    martini_bird

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Citation Envoyé par Sephi
    Je cherche également des liens entre un espace Lp et son dual Lq (pour 1/p + 1/q = 1).
    Lq est le dual de Lp pour . Ca permet d'identifier une forme linéaire sur Lp à une application où .

    Citation Envoyé par Sephi
    PS : Comment tu fais le symbole pour l'indicatrice ? Le 1 avec la double barre ?
    Code:
    \mathbb{1}

  6. #5
    rvz

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Citation Envoyé par Sephi
    Donc, je cherche des exemples :
    - d'une fonction telle que sa transformée de Fourier
    Je cherche encore d'autres exemples à demander ...
    Il suffit de remarquer par exemple, que la transformée de fourier d'un dirac vaut 1. Du coup, il suffit d'approcher un Dirac. Par exemple, tu peux utiliser une suite régularisante. Ca consiste à prendre une fonction f de classe C infini, à support compact, et positive, puis regarder la suite f_n(x)=n *f(nx). Il est facile de voir que ces fonctions ont la même norme L^1, mais leur transormée de Fourier s'étale et tend vers 1.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rvz

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Il est peut-être un peu tôt dans ton cours pour que tu voies l'utilité des espaces L^p. En fait, ces espaces sont des espaces d'interpolation entre L^1 et L^\infty, au sens où si 1/p = a/1 + (1-a)/\infty, avec a dans [0,1], alors si une fonction f est dans L^1 et dans L^\infty, alors, f est dans L^p et
    norme_p(f) <= norme_1(f)^a * norme_\infty(f)^(1-a).
    Ces espaces sont donc naturels d&#232;s qu'on fait de l'analyse, et leur int&#233;r&#234;t majeur r&#233;side dans le fait qu'ils sont r&#233;fl&#233;xifs, c'est-&#224;-dire que leur bidual canonique est lui m&#234;me. Du coup, les ensembles born&#233;s sont compacts (thm de Banach Alaoglu), et &#231;a, c'est tr&#232;s tr&#232;s pratique dans les applications. Si tu veux une bonne r&#233;f&#233;rence, tr&#232;s claire, il faut imp&#233;rativement aller voir le livre de H. Br&#233;zis, Analyse fonctionnelle.

  9. Publicité
  10. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : [Analyse] Th. de la mesure et exemples

    Donc, je cherche des exemples :
    (...)
    - d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?

    bizarre cette question: les boréliens contiennent les ouverts et les ouverts ne sont déjà pas nécessairement convexes.

    pour des exemples et contre-exemples en théorie de la mesure, je te conseille le bouquin de Stoyanov "counterexamples in probability" chez Wiley.

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