[Analyse] Th. de la mesure et exemples

[Sephi]

Bonjour
Je me construis une liste d'exemples de divers objets. Si vous pouviez m'aider, m'aiguiller, me donner des indices

On note la -algèbre de Borel.

Donc, je cherche des exemples :
- d'une mesure sur telle que toute fonction mesurable appartienne à
- d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?
- d'une fonction telle que sa transformée de Fourier
- de fonction à support non compact telle que pour tout

Je cherche encore d'autres exemples à demander ...
-----

[martini_bird]

Salut,
je commence par les faciles.

- d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?

Tu ne rêves pas...

- de fonction à support non compact telle que pour tout

fait l'affaire.

Cordialement.

[Sephi]

Je cherche également des liens entre un espace Lp et son dual Lq (pour 1/p + 1/q = 1). Mon cours n'est pas très clair dessus, alors je ne visualise pas très bien pourquoi on les définit.



PS : Comment tu fais le symbole pour l'indicatrice ? Le 1 avec la double barre ?

[martini_bird]

Je cherche également des liens entre un espace Lp et son dual Lq (pour 1/p + 1/q = 1).

L^q est le dual de L^p pour . Ca permet d'identifier une forme linéaire sur L^p à une application où .

PS : Comment tu fais le symbole pour l'indicatrice ? Le 1 avec la double barre ?

\mathbb{1}

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Donc, je cherche des exemples :
- d'une fonction telle que sa transformée de Fourier
Je cherche encore d'autres exemples à demander ...

Il suffit de remarquer par exemple, que la transformée de fourier d'un dirac vaut 1. Du coup, il suffit d'approcher un Dirac. Par exemple, tu peux utiliser une suite régularisante. Ca consiste à prendre une fonction f de classe C infini, à support compact, et positive, puis regarder la suite f_n(x)=n *f(nx). Il est facile de voir que ces fonctions ont la même norme L^1, mais leur transormée de Fourier s'étale et tend vers 1.

[invite6b1e2c2e]

Il est peut-être un peu tôt dans ton cours pour que tu voies l'utilité des espaces L^p. En fait, ces espaces sont des espaces d'interpolation entre L^1 et L^\infty, au sens où si 1/p = a/1 + (1-a)/\infty, avec a dans [0,1], alors si une fonction f est dans L^1 et dans L^\infty, alors, f est dans L^p et
norme_p(f) <= norme_1(f)^a * norme_\infty(f)^(1-a).
Ces espaces sont donc naturels d&#232;s qu'on fait de l'analyse, et leur int&#233;r&#234;t majeur r&#233;side dans le fait qu'ils sont r&#233;fl&#233;xifs, c'est-&#224;-dire que leur bidual canonique est lui m&#234;me. Du coup, les ensembles born&#233;s sont compacts (thm de Banach Alaoglu), et &#231;a, c'est tr&#232;s tr&#232;s pratique dans les applications. Si tu veux une bonne r&#233;f&#233;rence, tr&#232;s claire, il faut imp&#233;rativement aller voir le livre de H. Br&#233;zis, Analyse fonctionnelle.

[invite986312212]

Donc, je cherche des exemples :
(...)
- d'un ensemble borélien de qui ne soit pas convexe : je rêve, ou prendre simplement l'union de 2 rectangles disjoints est déjà bon ?

bizarre cette question: les boréliens contiennent les ouverts et les ouverts ne sont déjà pas nécessairement convexes.

pour des exemples et contre-exemples en théorie de la mesure, je te conseille le bouquin de Stoyanov "counterexamples in probability" chez Wiley.