Bel exercice !

[invite33c0645d]

Philosophie : "Il faut toujours voir une série comme une limite et surtout pas une somme, seuls les familles sommables induisent des séries qui sont des sommes."

Soit une suite de réels indexée par qui induit une série semi-convergente. C'est-à-dire:
(1) : est le terme général d'une série convergente
(2) : est le terme général d'une série divergente

Soit
On a alors : ,

où désigne l'ensemble des bijections de sur

Source : Oral des Mines

Petit complément :
il existe une bijection de sorte que :

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[invite179e6258]

d'où on déduit que l'ensemble des permutations de N n'est pas dénombrable, mais bon...

[Seirios]

Il s'agit du théorème de réarrangement de Riemann.