équations différentielles et pb de cauchy

[invitee855c133]

bonjour !
alors je suis en prépa mpsi, et je voudrais savoir si quelqu'un peut m'aider sur les équations différentielles du second ordre.
Le problème de cauchy, c'est que pour une équation diff du second ordre donné, il existe une seule solution unique telle que y(x0)=y0 et y'(x0)=m cest ca?
mais n'y a-t-il pas d'autres propriétés?
par exemple, si l'on a une équation (E), et que l'on nous donne deux solutions a et b telles que :
a(0)=1 et a'(0)=0
b(0)=1 et b'(0)=c
est-ce qu'il n'existe pas une relation entre ces deux solutions ? ?
j'espère que quelqu'un pourra répondre à cette question,
bonsoir !
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[Bleyblue]

Le problème de cauchy, c'est que pour une équation diff du second ordre donné, il existe une seule solution unique telle que y(x0)=y0 et y'(x0)=m cest ca?

En fait je dirais qu'un problème de Cauchy c'est la donnée de :

- Une équation différentielle d'ordre n (n naturel > 0)
- De n condition initiales.

Avec une définition pareille :

y''' + y' = 5, y(0) = 1, y'(1) = 0, y'(2) = 3

est un problème de Cauchy

[invitee855c133]

et est-ce qu'il existe des relations particulières entre deux problèmes de cauchy?

[Bleyblue]

Ma définition n'est pas bonne (je viens d'aller revoir dans mon cours désol&#233 :

->

Un problème de Cauchy au point a c'est la donnée de :

- Une équation différentielle d'ordre n (n naturel > 0)
- De n condition initiales : y(a) = A₁, y'(a) = A₂ ... y^(n-1)' = A_n

la c'est juste je pense

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

et est-ce qu'il existe des relations particulières entre deux problèmes de cauchy?

Eh bien en fait un fois que tu as la solution générale de ton équadiff. ta solution dépend de n constantes d'intégration (car équadiff d'ordre n).

Résoudre le problème de Cauchy ça consiste à trouver les valeurs de ces n constantes à partir des n conditions initiales
Mais si tu imposes des conditions totalement différentes (un autre problème de Cauchy) tu peux avoir une solution totalement différente donc je ne pense pas qu'il existe de relation particluière entre deux problèmes (mais ça reste à confirmer)

[invitee855c133]

d'accord je comprend déjà mieux )
mais à ce moment là il peut y avoir plusieurs problèmes de cauchy au même point? avec par exemple une dérivée différente. comment trouver par quelles relations les deux fonctions sont alors liées?

[Bleyblue]

mais à ce moment là il peut y avoir plusieurs problèmes de cauchy au même point? avec par exemple une dérivée différente

Oui tout a fait.

Si je prend

1)
y" + 2y' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

et

2)
y" + 2y' + y = 0, y(0) = 25, y'(0) = 1

alors ce sont deux problèmes de Cauchy différents.

Mais à prioris si y1 est la solution du problème 1 et y2 la solution du problème 2 je ne pense pas qu'il y ait forcément une relation entre y1 et y2. Ce sont deux fonctions différentes, c'est tout

[invite6e2e194b]

En fait moi aussi j'ai un problème avec le problème de Cauchy!!!!

Comment peut on illustrer les solutions de y'=(y-pi)(y-1) , y(0)=y0 sur R+ pour différentes valeurs de y0. Sans résoudre cette équation.