P(x²)=p(x)*p(x+1)

invite17ed3646 · 21/09/2013, 18h13

Bonjour, pour trouver un polynome respectant cette équation, il y a :
-les polynomes constants O et 1
-si P n'est pas constant, alors soit a une racine, si a est racine, a² aussi, donc on aura une infinité de solutions et donc le polynome nul à moins que
|a|=|a²|=1 ou a=0
on substitue X-1 à X, on a alors P((X-1)²)=P(X)*P(X-1), si a est racine, alors (a-1)² aussi, la seule solution est ici aussi que |a|=|a-1|=1, voila ou j 'en suis, je ne comprend pas pourquoi les solutions sont 0,j,J² et 1 ou -1 (l'un ou l'autre je crois). De plus, si j est racine, alors j-1 aussi, donc (j-1)² aussi et ca diverge non?
Merci pour votre aide!

**ansset** · 21/09/2013, 19h39

bonsoir,
dans quel espace es-tu dans R, dans C, dans ...?

**Médiat** · 21/09/2013, 19h49

Envoyé par Mpropre984

si a est racine, a² aussi, donc on aura une infinité de solutions

Si $\text{[math]}$ est racine, $\text{[math]}$ aussi, donc $\text{[math]}$ aussi, or $\text{[math]}$ soit 2 solutions et non une infinité !

invite17ed3646 · 21/09/2013, 20h08

On est dans C, et puis si j est racine, j-1 aussi, et (j-1)² aussi, et la ca fait une infinité

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 21/09/2013, 20h29

Envoyé par Mpropre984

On est dans C, et puis si j est racine, j-1 aussi, et (j-1)² aussi, et la ca fait une infinité

Cela n'empêche pas votre premier message d'être faux !

invite17ed3646 · 21/09/2013, 20h54

Je ne vois pas pourquoi ?

invite17ed3646 · 21/09/2013, 21h00

Le module de j-1 ne vaut pas 1, donc ca va diverger non?

invite5418555b · 22/09/2013, 17h22

Salut,

On a P(0)=P(0)xP(1), donc si P(0) different de 0, P(1)=1, ce qui veut dire que la somme des an = 1

De plus P(1^2)= P(1)xP(2)= 1

Donc P(2) = 1

Or P(2) = somme des an x 2^n

On se retrouve avec somme des an = 1 et somme des an x 2^n = 1

La seule solution est que les an soit egaux a 0 sauf a0 = 1, soit le polynome constant 1.

Il me semble que c'est valable dans R et dans C.

Nicolas.

**ansset** · 22/09/2013, 17h53

Envoyé par Nicolas321

Il me semble que c'est valable dans R et dans C.
.

ben non , ce n'est pas pareil

**breukin** · 24/09/2013, 20h24

On a par exemple $\text{[math]}$ , et on est dans les réels.

**breukin** · 24/09/2013, 20h36

Et plus généralement $\text{[math]}$ si on pose $\text{[math]}$ .
Sont-ce les seuls ?

**Seirios** · 24/09/2013, 21h42

En incluant les solutions évidents (les polynômes constants à 0 et 1), oui, ce sont les seuls.

Puisque l'ensemble des racines d'un polynôme solution $\text{[math]}$ est stable par passage au carré, on en déduit que $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ est non constant (sans quoi, en prenant une suite $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une racine de module dans $\text{[math]}$ , on trouverait une infinite de racines, et $\text{[math]}$ serait constant).

Maintenant, si $\text{[math]}$ est une racine de $\text{[math]}$ non nulle, alors $\text{[math]}$ est également racine : soit son module est nul, et $\text{[math]}$ , soit son module vaut l'unité, et $\text{[math]}$ .

Par conséquent, $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

En réécrivant l'égalité $\text{[math]}$ dans ce contexte, et en identifiant les racines et leurs multiplicités, on en déduit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

P(x²)=p(x)*p(x+1)

P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)

Re : P(x²)=p(x)*p(x+1)