P(x²)=p(x)*p(x+1)

[invite17ed3646]

Bonjour, pour trouver un polynome respectant cette équation, il y a :
-les polynomes constants O et 1
-si P n'est pas constant, alors soit a une racine, si a est racine, a² aussi, donc on aura une infinité de solutions et donc le polynome nul à moins que
|a|=|a²|=1 ou a=0
on substitue X-1 à X, on a alors P((X-1)²)=P(X)*P(X-1), si a est racine, alors (a-1)² aussi, la seule solution est ici aussi que |a|=|a-1|=1, voila ou j 'en suis, je ne comprend pas pourquoi les solutions sont 0,j,J² et 1 ou -1 (l'un ou l'autre je crois). De plus, si j est racine, alors j-1 aussi, donc (j-1)² aussi et ca diverge non?
Merci pour votre aide!
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[invite51d17075]

bonsoir,
dans quel espace es-tu dans R, dans C, dans ...?

[Médiat]

si a est racine, a² aussi, donc on aura une infinité de solutions

Si est racine, aussi, donc aussi, or soit 2 solutions et non une infinité !

[invite17ed3646]

On est dans C, et puis si j est racine, j-1 aussi, et (j-1)² aussi, et la ca fait une infinité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

On est dans C, et puis si j est racine, j-1 aussi, et (j-1)² aussi, et la ca fait une infinité

Cela n'empêche pas votre premier message d'être faux !

[invite17ed3646]

Je ne vois pas pourquoi ?

[invite17ed3646]

Le module de j-1 ne vaut pas 1, donc ca va diverger non?

[invite5418555b]

Salut,

On a P(0)=P(0)xP(1), donc si P(0) different de 0, P(1)=1, ce qui veut dire que la somme des an = 1

De plus P(1^2)= P(1)xP(2)= 1

Donc P(2) = 1

Or P(2) = somme des an x 2^n


On se retrouve avec somme des an = 1 et somme des an x 2^n = 1

La seule solution est que les an soit egaux a 0 sauf a0 = 1, soit le polynome constant 1.

Il me semble que c'est valable dans R et dans C.

Nicolas.

[invite51d17075]

Il me semble que c'est valable dans R et dans C.
.

ben non , ce n'est pas pareil

[breukin]

On a par exemple , et on est dans les réels.

[breukin]

Et plus généralement si on pose .
Sont-ce les seuls ?

[Seirios]

En incluant les solutions évidents (les polynômes constants à 0 et 1), oui, ce sont les seuls.

Puisque l'ensemble des racines d'un polynôme solution est stable par passage au carré, on en déduit que si est non constant (sans quoi, en prenant une suite avec une racine de module dans , on trouverait une infinite de racines, et serait constant).

Maintenant, si est une racine de non nulle, alors est également racine : soit son module est nul, et , soit son module vaut l'unité, et .

Par conséquent, et donc .

En réécrivant l'égalité dans ce contexte, et en identifiant les racines et leurs multiplicités, on en déduit et .