Esperance mathématique pour les jeux comme le loto...

[invite80a86f20]

Bonjour,
Je souhaiterais savoir si vous savez parmis tous les jeux d'argent et de hasard (casino, grattage, loto, kéno, euromillions, ...) celui qui est le plus équitable?

J'entends par là celui dont l'esperance mathématique de gain est la plus élevée. Tenant donc compte de la probabilité de gain et du montant du gain.

Comme je ne suis pas du tout un expert et que je ne suis pas sur d'utiliser les bons termes pour me faire comprendre, voici un exemple :

A mise égale, il vaut mieux jouer à un jeu où on a une chance sur 15 000 de gagner 6000€ plutôt qu'à un jeu où on a une chance sur 50 000 de gagner 18 000€...


Bref, compte tenu des paramètres :

- mise
- probabilité de gain
- montant du gain,

quel est le jeu où l'on maximise ses chances de gagner? (ou minimise ses chances de perdre!!!)

Merci par avance....!
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[invite80a86f20]

Bonjour,
up...!

[yat]

La cagnote d'Euro Millions a dépassé les 150 millions, il me semble. Donc à 2 euros la grille, et un jackpot à une chance sur 75 millions, l'espérance mathématique est positive, si tu considères qu'il ne peut y avoir qu'un gagnant.

Difficile de faire plus belle espérance mathématique que ça. Evidemment, pour que ça ait un sens il faudrait jouer un nombre de grille du même ordre de grandeur que le nombre total de grilles.

Sinon, et dans un domaine plus réaliste, le blackjack permet d'avoir une espérance mathématique très proche de zéro, si on adopte une bonne stratégie. Il y a même des légendes qui prétendent qu'avec des méthodes de comptage des cartes assez accessibles avec un minimum d'entrainement, on peut faire passer cette espérance lêgèrement au dessus de zéro.

[inviteae71f3fb]

Je ne connait pas les règles du jeux .Vous pourriez expliquer SVP ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec8adb6]

a priori, la grande majorité des jeux a une esperance negative, sinon le casino perdrait de l'argent
on peut meme voir ca comme une theorie darwinnienne
si on a deux casinos, un à esperance positive et un à esperance negative, le premier va perdre de l'argent, et faire faillite, et seul celui qui a une esperance negative survit
sinon, comme l'a dit yat, si la cagnotte d'euro millions continue à grimper, l'esperance mathematique finira forcément par devenir positive(à toi de calculer quand)

[yat]

a priori, la grande majorité des jeux a une esperance negative, sinon le casino perdrait de l'argent

Je pense qu'on peut dire tous.
A ma connaissance le blackjack est le seul jeu ou on puisse véritablement adopter une stratégie (autre qu'une martingale ou que de jouer son âge), et que même pour celui là, il faut une méthode extrêmement gourmande en neurones pour faire passer l'espérance au dessus de zéro. En gros, il faut être très doué pour mémoriser des séquences, être nombreux et être très entrainé.

on peut meme voir ca comme une theorie darwinnienne
si on a deux casinos, un à esperance positive et un à esperance negative, le premier va perdre de l'argent, et faire faillite, et seul celui qui a une esperance negative survit

Ce n'est pas nécessairement le cas : le blackjack, qui est certainement le jeu à la plus grosse espérance mathématique, reste une bonne source de revenus pour les casinos, parce qu'il y a beaucoup de gens qui aiment bien ça (c'est quand même nettement moins beubeu que de poser ses jetons sur une case au pif). De plus, même avec une espérance minimale, le casino reste globalement gagnant parce qu'il a un crédit illimité. Les joueurs, eux, cherchent toujours à gagner plus ou à se refaire, et globalement finissent par tout perdre dans bien des cas. D'ailleurs, sur certaines machines de poker, après un gain on a la possibilité d'enchainer des quitte ou double. Cette phase du jeu a une espérance mathématique strictement nulle. Pourtant, si les machines l'intègrent, ça doit bien être parce que c'est rentable.

sinon, comme l'a dit yat, si la cagnotte d'euro millions continue à grimper, l'esperance mathematique finira forcément par devenir positive(à toi de calculer quand)

En considérant un seul gagnant, la cagnotte de vendredi était déjà rentable, comme je l'ai dit. Mais pas de bol, il y a eu trois gagnants. Ce problème est impossible à tenir en compte, parce que le nombre de gagnants est une variable aléatoire qui est difficilement modélisable parce que pas indépendante de grand chose.

[invitedf667161]

Trés belle réponse de Yat !

Quelque chose me dit que les mathématiciens ne représentent pas la plus grande proportion de gens qui jouent aux jeux de hasard ...

[invite2ec8adb6]

En considérant un seul gagnant, la cagnotte de vendredi était déjà rentable, comme je l'ai dit. Mais pas de bol, il y a eu trois gagnants. Ce problème est impossible à tenir en compte, parce que le nombre de gagnants est une variable aléatoire qui est difficilement modélisable parce que pas indépendante de grand chose.

est-ce qu'on ne pourrait pas, à partir du nombre N de joueurs, determiner l'esperance Gi pour chaque nombre i de gagnants possible, et obtenir la veritable esperance en calculant sigma(Pi*Gi), où Pi est la probabilité qu' il y ait i gagnants?
bien sur, pour cela, il faudrait obtenir une loi empirique de N en fonction de la cagnotte, mais ça doit etre faisable

[invite86822278]

Il faudrait aussi établir la loi du nombre moyen de tentatives par joueur en fonction du gain... Là, on est plutôt dans des études psychologiques...

[yat]

Pour essayer d'avancer quand même, quelques éléments.

En me basant sur les statistiques de tous les tirages, je cherche à avoir une idée du nombre de joueurs en fonction du montant de la cagnote. Les fichiers de statistiques distribués sur le site de la fdj ne donne pas le montant de la cagnote pour chaque tirage, je ne peux donc me baser que sur les rapports au rang 1 et le nombre de gagnants de ce même rang. Pour avoir un indice du nombre de joueurs, je prends le nombre de gagnants au rang 12 (le plus probable, donc a priori le plus représentatif). Dans un premier temps j'ai regardé ce que ça donnait en n'utilisant que les valeurs que j'avais :

Joli, mais ça fait pas beaucoup de données pour la partie intéressante de la courbe. Pour aller un peu plus loin, j'ai considéré qu'à chaque fois que la cagnote était ramassée, on repartait à 10 millions et on montait linéairement jusqu'à la prochaine cagnote. Je peux donc par cette approximation me baser sur tous les tirages :

Voilà comment faire entrer en ligne de compte le nombres de gagnants : il suffit de tirer une loi qui donne l'espérance du nombre de joueurs en fonction du montant de la cagnote, d'en déduire une loi qui donne l'espérance du nombre de gagnants, et enfin d'aboutir à la véritable espérance mathématique du jeu en fonction de la cagnote.

EDIT : je vois que pendant que je rassemblais les liens et que je tapais, La question à laquelle je cherche à répondre a été posée...

RE-EDIT : en abscisse, le montant de la cagnote en millions, en ordonnée le nombre de milliers de gagnants au rang 12