Comment lisez-vous un livre de mathématiques?

[invitefbde31ad]

Une question d'épistémologie sur laquelle je me suis maintes fois interrogé : comment un autre que moi aurait-il lu, appris cette théorie?

Je m'explique : il existe plusieurs types d'individus qui fonctionnent sur les modes auditif, kinesthésique ou encore visuel (visuel, c'est le cas de tous les mathématiciens selon moi).

Mon professeur de mathématiques, qui est reconnu bon mathématicien par ses pairs (est-ce un bon pédagogue, je vous dirai que je suis sceptique. Il n'est pas médiocre en tout cas, c'est sûr), insiste à longueur de cours sur le fait qu'il faut absolument avoir une représentation visuelle des objets que l'on manipule, que ce soit des définitions d'objets, des théorèmes ou autres propositions.

Ma question est alors de savoir comment VOUS, vous visualisez les choses (de façon abstraite ou concrète d'ailleurs)?

Henri Poincaré, dernier "savant universel", était connu par exemple pour avoir une formidable capacité à lier les connaissances entre-elles, et se servait de ce savoir pour visualiser les problèmes par analogie (en croisant les disciplines).
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[invite21691483]

Bonjour,
Personellement, j'aime bien avoir une image de ce que j'apprend car des fois certains théorèmes ou formules sont assez vagues, alors qu'un bon schéma reste souvent clair!
Mon prof de physique dit toujours "Mieu vaut un bon dessin qu'un grand discours"!
Enfin je pense qu'après ca depend des personnes...

[invitecd57206b]

Personnellement, je suis très visuel. Malheureusement pour moi, à partir d'un certain niveau cette manière de comprendre les choses n'est peut être plus vraiment efficace ni même possible. Prenons par exemple, les espaces à n dimensions avec n>3, l'orthogonalité d'éléments d'un ensemble à plus de 3 dimensions...
Bref...
Ce que tu dit me fait beaucoup penser à la PNL

[invitec314d025]

Dans les espaces vectoriels de dimension finie, même supérieure à 3, on arrive généralement à bien visualiser en se ramenant à des dimensions plus petites (il y a des risques, mais la plupart des propriétés sont conservées). C'est quand on passe en dimension infinie (espaces de fonctions principalement) que les problèmes commencent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefbde31ad]

Ravi de voir des réponses sur ce post!

Je pense également que poser un "dessin" sur les idées permet non seulement de les éclairer, mais également de mieux les retenir.

Ce que tu dit me fait beaucoup penser à la PNL

Et je dirais même que ce n'est pas une coïncidence .

Pour des dimensions supérieures à 3, je m'étais intéressé aux hypercubes et polytopes, mais ça n'avait en réalité pas une nature directe avec les espaces vectoriels (du moins comme présenté sur le site que j'ai visité). Et pour des dimensions infinies, n'en parlons pas.

[invitec7204958]

Bonsoir,

En ce qui concerne j'utilise assez peu l'approche visuelle, et en tout cas il me semble avoir rarement abordé les problèmes de maths sous un angle visuel ; sans doute est-ce pour cela que je suis mauvais en géométrie (meilleur en probabilités et en analyse). Mais à vrai dire j'hésite aussi à me baptiser mathématicien .

Face à un problème de mathématiques j'ai avant tout une approche analytique : quels sont les éléments dont je dispose au départ, et quels sont les "briques" (mode de formalisation, théorèmes) qui ont le plus de chances de me mener vers la solution. Une fois cela déterminé j'assemble mes briques et je les emboîte...

Cordialement,

PS Tout à fait d'accord avec Matthias ; difficile aussi de "visualiser" une distribution ou une tribu de Borel

[invitefbde31ad]

Intéressant. Poincaré, dans La valeur de la science souligne justement l'existence de deux types de mathématiciens : les logiciens ou Analystes (et tu dis être plus habile en Analyse) d'un côté, et les intuitionistes ou géomètres de l'autre. Et c'est bien par la manière de pensée que tu décris que Poincaré décrit les logiciens.

Maintenant, au-delà du fait de visualiser ou de "construire", j'étais curieux aussi du comment vous organisez vos connaissances en mathématiques : tout ce que vous apprenez, comprenez s'intègre-t-il à un système que vous avez construit? Celui est-il représentable ou il se sent juste?

Personnellement, je fonctionne de cette façon pour les connaissances en générale, mais dès que j'entre dans les sciences, je semble perdre ce recul.

[invitec7204958]

Maintenant, au-delà du fait de visualiser ou de "construire", j'étais curieux aussi du comment vous organisez vos connaissances en mathématiques : tout ce que vous apprenez, comprenez s'intègre-t-il à un système que vous avez construit? Celui est-il représentable ou il se sent juste?

A vrai dire je n'ai jamais vraiment réfléchi à la question. Chaque fois que j'apprenais quelque chose de nouveau mon réflexe était de l'intégrer dans l'ensemble connu, qui était donc évolutif. Mais comme à aucun moment de mes études je n'ai fait de fiches, j'aurais bien été incapable, dès le lycée, de faire un plan d'ensemble (si c'est le sens que tu donnes à "représentable").

[invitefbde31ad]

Je pense que le fait d'intégrer une information à un ensemble connu est le seul moyen pour faire évoluer l'information en connaissance, à moins d'être parvenu à un stade de la connaissance où on peut s'estimer artiste ou inventeur.

Sinon, disons que la "représentabilité" est plus large dans ma conception. "On peut faire un plan de nos connaissances si et seulement si elles sont représentables" en quelque sorte. Mais cela ne dit pas comment à la base nous intégrons l'information rigoureuse mathématique.

Personnellement, en dehors des sciences, j'ai une vue heuristique (une carte) du savoir. En sciences, ma vue est plus bornée, comme si je devais me concentrer sur plusieurs détails. Et c'est seulement quand je maîtrise ces détails que je peux prendre du recul et voir la "carte"

[invite4793db90]

Salut,

je ne suis pas un expert en la matière, mais il me semble que nous concevons intérieurement une certaine représentation des concepts mathématiques, et ce faisant, chacun voit les choses de manière différente, bien que le dénominateur commun soit celui de la "vérité" (au sens mathématique).

Cordialement.

[invitec314d025]

J'aurais personnellement tendance à être très impressionné par quelqu'un qui réussirait à englober l'ensemble de ses connaissances mathématiques dans une représentation unique (et qui serait ainsi capable de faire facilement des rapprochements que les autres ne voient pas).
Je veux dire que même en ayant à l'esprit les fondements communs des différents domaines et des passerelles les reliant les uns aux autres, on a parfois l'impression de travailler en "mode arithmétique", "mode géométrique", etc.

[invitefbde31ad]

Je pense qu'un mot, succession de sons, n'a de sens que parce qu'il provoque une image dans notre esprit, consciente dans un premier temps, par nécessité, puis inconsciente lorsque maîtrisé.

Je conduis par analogie cette idée pour les mathématiques, la première différence étant ici que les mots sont rarement énoncés oralement, et que bien qu'on dise des mathématiques qu'elles sont un langage, elles ne le sont pas complètement. La deuxième différence à mon avis est qu'en plus de moins utiliser le "langage mathématique", celui-ci porte sur des objets liés seulement indirectement à la réalité, voire très indirectement liés, et de plus en plus indirectement liés lorsqu'on grimpe dans le niveau d'abstraction.

Là où je veux en venir, c'est donc d'abord de souligner l'importance de la visualisation en mathématiques, qui est souvent forcée et bien plus longuement consciente que pour l'apprentissage d'une simple définition de français. Et ce lot d'images forment une "constellation", un système.

Je veux dire que même en ayant à l'esprit les fondements communs des différents domaines et des passerelles les reliant les uns aux autres, on a parfois l'impression de travailler en "mode arithmétique", "mode géométrique", etc.

C'est là que je rejoins bien ton idée : car je pense justement qu'on ne peut avoir conscience de toutes les images que l'on a assimilées, et il faut bien un "calque" sélectif pour nous permettre de discourir (ce que tu nommes "mode arithmétique", "mode géométrique").

Mon interrogation est toujours là : comment alors pourriez-vous décrire vos visualisations??

[invite4793db90]

Ta conception visualiste des mathématiques, évidemment bien naturelle, vient de ce que la géométrie joue un rôle essentielle dans la construction mentale des mathématiques, bien plus que le nombre.

Pourtant ce dernier, représenté par une collection de points chez Pythagore, n'appartient aujourd'hui guère plus à la géométrie... Peux-tu par exemple visualiser le nombre 10⁹ ou 10⁵⁹?

Le symbolisme joue un rôle essentiel dans le développement et l'apprentissage des mathématiques.

[invitefbde31ad]

Très intéressante remarque qui m'a fait pas mal réfléchir. Je me suis penché sur le cas particulier des nombres très grands que tu as écrit.

Bien disons que je pose deux axiomes :
i) L'esprit choisit le chemin le plus court pour parvenir à un résultat évident selon les connaissances dont il est instruit
ii) En dehors des axiomes, qui permettent d'établir du nouveau, le fonctionnement mathématique est un fonctionnement tautologique. Autrement dit, on fait du nouveau avec de l'ancien (bien sûr, bien plus efficace et général, poussé, abstrait)

On a l'évidence de l'unité, de 1. 1+1=2.1+1+1=3.1+1+1+1=4. Ensuite, notre système étant en base décimale, le 5 joue un rôle particulier. Pour "penser" 7, je vois 5+2. Pour 13, 10+3.

Mais pour 10 puissance 58? J'avoue justement que l'image que je me fais de ce nombre est le symbole lui-même (10 puissance 58). Mais finalement, ce symbole, ce n'est que quelque chose en attendant mieux, car 10^23 est bien plus petit que 10^58, mais dans ma visualisation symbolique, ce n'est pas flagrant.

Ce qui redirige le problème vers : comment s'intègrent les symboles à votre visualisation?

[invitefbde31ad]

J'ai trouvé ce lien, qui, bien qu'il ne va pas renverser votre vision des mathématiques, explicite bien ce qui peut se passer dans notre esprit : Imagerie mentale et mathématiques.

Si quelqu'un avait des références de livres qui pourraient avoir un lien, ou me mener à un lien avec ce sujet (comme ce livre : Intuitions de génies) puisse-t-il m'en faire part

[invitec7204958]

Bonsoir,

J'aurais personnellement tendance à être très impressionné par quelqu'un qui réussirait à englober l'ensemble de ses connaissances mathématiques dans une représentation unique (et qui serait ainsi capable de faire facilement des rapprochements que les autres ne voient pas)

Faut-il vraiment avoir une représentation unique pour faire ces rapprochements ? Il me semble plutôt que ce qui est nécessaire est une forte capacité d'abstraction

Je veux dire que même en ayant à l'esprit les fondements communs des différents domaines et des passerelles les reliant les uns aux autres, on a parfois l'impression de travailler en "mode arithmétique", "mode géométrique", etc.

Peut-être cela vient-il que chacun dispose de "cartes" d'échelle différentes : des cartes "détaillées" (pour la trigo, les nombres complexes, la géométrie classique, la géométrie analytique...) et pour lier tout ça une carte des passerelles.
Une fois qu'on a décidé quelle branche des maths on va utiliser (=utilisation de la carte d'ensemble), il me semble naturel qu'on s'immerge dans la "carte" qu'on a choisie et qu'on raisonne comme tu le dis

Cordialement

[invitefbde31ad]

Faut-il vraiment avoir une représentation unique pour faire ces rapprochements ? Il me semble plutôt que ce qui est nécessaire est une forte capacité d'abstraction

Intéressant. Ca ne m'a jamais effleuré. Pourrais-tu décrire ce que tu entends alors par "capacité d'abstraction"?

[invitec7204958]

Intéressant. Ca ne m'a jamais effleuré. Pourrais-tu décrire ce que tu entends alors par "capacité d'abstraction"?

Je pense aux mathématiciens qui ont construit des ponts entre des domaines considérés jusqu'alors comme indépendants : la géométrie/la géométrie analytique, le calcul des nombres complexes et la trigonométrie, la notion d'ensembles... Au lieu de dire (comme Matthias) que les personnes avaient une vue synthétique des mathématiques, il me semble qu'ils l'ont plutôt créée.

[invitefbde31ad]

De ce point de vue là, il est clair que la représentation de la connaissance dépend de la capacité d'abstraction (quantité de critères abstraits et niveau d'abstraction). Si tu affirmes que l'abstraction elle-même, par le mouvement interne qu'elle provoque, lie directement deux éléments qui n'étaient pas reliés auparavant (contribuant ainsi à la création de la représentation), je suis d'accord.

Cependant, je m'étonne tout de même du fait que je n'ai pas le souvenir d'avoir eu un système de représensation de connaissances étant beaucoup plus jeune. Avez-vous constaté des manières radicalement différenter d'aborder l'information et la connaissance le long de votre vie?

[invitec7204958]

Avez-vous constaté des manières radicalement différenter d'aborder l'information et la connaissance le long de votre vie?

Personnellement je ne me sens pas encore tout à fait mort !

Sérieusement, je trouve qu'il y a une première différence entre ma façon d'aborder les problèmes en taupe et maintenant, qui est simplement qu'en taupe on apprend à développer les réflexes sur ce que j'ai appelé les cartes "détaillées" (entre parenthèses, il est possible que les étudiants aient des modes de représentation différents, mais il me semble qu'il y a quand même de très bonnes raisons qu'un grand nombre adopte des mêmes moules). Vu le type de problèmes, vu aussi l'entraînement que j'avais à cette époque, il n'y avait jamais aucun doute sur la partie des maths qu'il fallait appliquer

A présent je ressens beaucoup plus nettement la séquence de deux phases, et ceci me semble directement lié à un problème d'organisation de la mémoire. Je n'ai plus présent à l'esprit autant d'éléments (= je n'ai pas en tête toutes les "cartes détaillées"), mais je cherche d'abord (avec pour repères les éléments de l'énoncé et surement mes souvenirs) quelle est la carte détaillée qui peut le mieux me servir. C'est seulement ensuite que j'utilise la carte détaillée, que souvent je dois rétablir : du style "c'est quoi déjà, la primitive de 1/(1+x2) ?"

A +

[invitefbde31ad]

Personnellement je ne me sens pas encore tout à fait mort !

Ah, maladresse! Je m'en excuse

Sinon votre vision rejoint effectivement mon point de vue "heuristique" de la connaissance. On dresse les branches au départ, ensuite on peut les emprunter à notre guise.

Cela concorde aussi l'idée que j'ai de l'évolution de la connaissance chez un individu : d'abord il faut être explorateur, puis on devient enquêteur, scientifique, puis artiste, et enfin savant. Je crois aussi que passer d'une étape à l'autre en négligeant la précédente entraîne les futures désillusions, petites ou grandes.

[invitecd57206b]

C'est marrant je n'avais pas du tout réfléchit autant sur les mathématiques que ca.
Pour moi ca se resumait a des problemes qu'on me donnait.
Ces problemes etaient des taches qui se subdivisaient chacune en plusieurs petites taches plus simples et ainsi de suite jusqu'a tomber sur des axiomes.

[invitefbde31ad]

Je pense que ce travail sur la façon dont on connaît les mathématiques est utile, mais pas vraiment nécessaire. Et il y a risque qu'à force de réfléchir, on ne pense plus. D'ailleurs, ce sont les élèves qui copient les maîtres et veulent savoir comment ils pensent - en attendant de pouvoir penser avec confiance eux-mêmes... non?