[Probabilités] Simulation du signal du télégraphe

[invitee6353f29]

Bonsoir,

Dans le cadre d'un projet je voudrais simuler sous Matlab le signal du télégraphe.
J'ai donc deux états possible, haut et bas par exemple, et je voudrais observer au cours du temps les transitions entre ces états.
Je sais simplement la durée de vie d'un état suit une loi exponentielle (dont le paramètre λ serait un paramètre de ma simulation).

Étant donné que c'est une simulation numérique mon temps sera discret, je pense donc que je dois utiliser un processus de Markov à temps discret.
Pour cela je dois donc déterminer ma matrice de transition au cours du temps, et c'est là que je bloque.
Je vais donc vous exposer mon raisonnement et si vous le voulez bien j'aimerais que vous m'aidiez à comprendre là où je fais une/des erreur(s).

Ma matrice sera une matrice 2x2, vu que je n'ai que deux états. La somme des coefficients d'une ligne doit être égal à un.
Je me fixe un pas de temps dT, mes temps seront donc de la forme . L'état 1 à la même probabilité de transiter vers l'état 2 que l'état 2 vers l'état 1.

La probabilité de transition au temps T est la probabilité que la durée de vie t de mon état soit comprise entrer T-dT et T (vu que mon temps est discret).
Donc

La probabilité qu'il n'y ait pas de transition est donc la probabilité que la durée de vie de mon état soit supérieure à T.
Donc

Sauf que je n'ai pas , et je ne parviens pas à comprendre mon erreur.

Je précise que j'ai fait des recherches, sur le forum et sur le net, mais que je n'ai rien trouvé de concluant. De toute façon je préfère le faire par moi-même pour mieux comprendre.
De plus, une fois ma matrice de transition obtenue, je ne vois pas comment simuler le processus numériquement.

Merci d'avance.
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[inviteea028771]

Le plus simple, c'est de se rappeler que la loi exponentielle est la loi sans mémoire. Donc il te suffit d'avoir une matrice de transition ne dépendant pas du temps pour approcher une loi exponentielle (la loi géométrique est la version discrète de la loi exponentielle).

Pour calculer la valeur du paramètre lambda, il suffit de se rappeler que l'espérance est égale à 1/lambda. Or si la probabilité de passer de A à B est égale a p, alors son espérance est 1/p*dT (habituellement, on trouve 1/p, mais c'est pour des "pas" de 1)

[invitee6353f29]

Merci pour ta réponse.
En fait tu voudrais me dire que:
-La probabilité de transition à chaque pas de temps est donnée par la probabilité que mon état ait une durée de vie inférieure à mon pas de temps.
-La probabilité de rester dans le même état à chaque pas de temps est donnée par la probabilité que mon était ait une durée de vie supérieure à mon pas de temps.

D'où:



Du coup j'ai bien la somme des coefficients d'une ligne qui est égale à 1. C'est bien ça ?

Pour l'espérance c'est un paramètre, ca sera mon temps caractéristique de durée de vie, et pour le coup je sais la calculer mais merci de ma la rappeler.

[invitee6353f29]

Je me permets de faire remonter mon post, je voudrais être sur de ce que je fais quand même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee6353f29]

Cela fait déjà un certain temps que j'ai trouvé la solution de mon problème (et celle-ci a été validée par un enseignant de statistiques), mon problème est donc résolu.
Dans l'éventualité ou quelqu'un aurait le même soucis je poste la solution:

Soit X une variable aléatoire réelle continue de fonction de répartition FX et de densité fX(x) > 0 pour tout x dans R.
On pose Y = FX(X). On peut démontrer (en calculant la fonction de partition de Y) que Y suit une loi uniforme sur [0;1].
Si X suit une loi exponentielle de paramètre l > 0, alors .
On a alors: .
On génère donc une variable qui suit une loi exponentielle. Cette variable, dans mon cas, est le temps de vie aléatoire de mes états.
Si ce temps est inférieur à mon pas de temps il y a transition, sinon il n'y a pas transition.

[invite179e6258]

il n'y a pas de générateur de variable exponentielle dans Matlab? Tu devrais passer à R, tu n'as qu'à taper rexp() et tu récupères une variable exponentielle, rexp(1000) et tu en récupères 1000.

[invitee6353f29]

Ah, en effet c'est bien pratique, je ne le savais pas. Mais cela revient au même et puis au moins je comprends tout ce que je fais.
Mais je retiens l'idée, merci.