f'(a)f'(b)<0 => f'(c)=0

[invited6b2ac16]

Salut,
j'ai f une fonction dérivable sur [a,b] (alors de classe C(0) je pense)
on a f '(a)f'(b)<0 , je dois monter que f' s' annule en un c qui appartient a ]a,b[
(donc un extremum local) , on a f continue donc atteint ses bornes sur [a,b] , et j'ai que la derrivé change de signe a et b , donc j'ai droit de dire que ça change de monotonie non? comment faire pour montrer que c est différent de a et de b ? j'ai essayé de demontrer par l'absurde mais je n'ai pas pu , quelqu'un peut me donner quelque indications svp?
Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Suivant les propriétés que tu as dans ton cours, c'est soit élémentaire, soit difficile :
* Si tu as la propriété que les fonctions dérivées vérifient le théorème des valeurs intermédiaires, c'est immédiat.
* Sinon, il va falloir bricoler, par exemple te ramener au théorème de Rolle en montrant que f prend sur [a,b] deux fois la même valeur.

Cordialement.

[invited6b2ac16]

non je n'ai pas ça dans mon cours (proprieté de DARBOUX je pense non?) voilà ce que j'ai fait : (dur de taper sur le tele alors je prefere d'ajouter un photo )
ma question c'eest : si f' change de signe est ce que j'ai le droit de dire qu'elle admet un sup/inf ?
Je m'excuse pour la mauvaise écriture

[gg0]

Tu as le droit d'écrire tout ce que tu veux, y compris des choses fausses. mais si tu veux rédiger une preuve, tu ne dois écrire que des hypothèses de l'énoncé, des modifications de ces hypothèses par l'utilisation de règles du cours, des modifications des hypothèses et/ou de leurs modifications déjà obtenues par l'utilisation de règles du cours, etc. Rien d'autre.
Donc as-tu une propriété dans tes cours qui permet de passer de "f' change de signe" à "elle admet un sup/inf" ?

Une remarque : f est effectivement C0, et même D1; mais on ne sait pas si elle est C1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6b2ac16]

non mais le prof a fait ca , je pense que si par exemple f'(a) >0 et f'(b)<0 alors f' croit puis décroît donc elle admet un sup ? et si le contraire on aufa un inf , non ?

[gg0]

je pense que si par exemple f'(a) >0 et f'(b)<0 alors f' croit puis décroît donc elle admet un sup

Il serait temps d'apprendre tes leçons sur la dérivation (cours de première), d'éviter de confondre f et f', dérivée positive en a et dérivée positive sur un intervalle, etc.

Une fonction, même dérivable, ça peut être très compliqué. Et sin on ne connaît sa dérivée qu'en a et b, la dérivée peut faire pas mal de choses différentes sur ]a;b[.

Autre chose : "le prof a fait ça" ?? A fait quoi ? Il a corrigé cet exercice ? Alors étudie le corrigé et cherche à chaque étape le théorème utilisé. Il a utilisé un argument qui ressemble ? Et alors, il y avait d'autres hypothèses, et tu n'as pas compris lesquelles ont été utilisées et quels théorème a été appliqué. Il ne faut pas confondre démontrer et "imiter des démonstrations en copiant des bouts de phrases sans savoir".

Bon, si tu veux faire cette preuve, tu as du travail, et en premier de bien réviser les cours.

Cordialement.

[invited6b2ac16]

je corrige je voulais dire f décroît pas f' , Ok non c'est la même chose qu'il a fait je vous l'assure.. pouvez vous me donner une aure méthode?
Merci

[gg0]

De f'(a)>0 on ne peut pas déduire que f est croissante (même au voisinage de a). Croissant n'a de sens que sur un intervalle.

Bon, je t'ai donné une idée de preuve, à toi de travailler.

[invited6b2ac16]

* Sinon, il va falloir bricoler, par exemple te ramener au théorème de Rolle en montrant que f prend sur [a,b] deux fois la même valeur.

je vais essayer ..

[invited6b2ac16]

est ce que je vais chercher à demontrer la convexité de la fonction peut être ?
(dsl pour la question bête) mais si la fonction est convexe il y a au moin un x et y different tq f (x)=f(y) [j'espère que je n'ai pas inventé ça aussi !]
P.S: Je pense que je dis dis n'importe quoi

[invited6b2ac16]

et je viens de lire sur ce lien https://www.google.com/url?q=http://...D4aA7oJM143r8g

que si la dérivé est positive en un point ça veut dire que la fonction est croissante dans ce point (meme chose pour la decroissance) et nous on a besoin just de trouver que f change de monotonie => admet un extremum local en c => f'(c) =0 non?

[gg0]

"croissante dans ce point" ne veut rien dire.

Le document que tu cites est incorrect. Prends un vrai cours de maths, pas un document dont tu ne sais rien.

Je crois que je vais te laisser continuer à faire n'importe quoi ...

[invited6b2ac16]

Non s'il vous plaît proposez moi un site ou je peux trouver des cours mieux + pouvez vous me donner plus d'indication pour resoudre le problème

[gg0]

Allez, quand même une petite indication : Si f'(b)<0, il y a un x, au voisinage de b, tel que f(x)>f(b). et alors f'(a)>0 donc il y a un y au voisinage de a tel que f'y)>f(a). Examine les différents cas de position de f(a) et f(b) pour voir qu'en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, f prend deux fois la valeur f(a) ou deux fois la valeur f(b). Fais un dessin !

Pour un cours simple, celui de Gilles Constantini est correct.

[gg0]

Plutôt ce site. le précédent est un peu court !

[invited6b2ac16]

pouvez vous relire votre message "f(y)>f(a) ou f'(y)>f(a)"? et merci pour les sites et les indications

[invited6b2ac16]

Alors je n'ai pas pu utiliser vos données mais voila ce que j'ai j'ai pu faire (rectifiez moi sv)
on a f n'est pas strictement monotone (f' change de signe) donc il existe x et y tq f (x)=f(y) => d'après le théorème de rolle il existe c tq f'(c) = 0 .. toujours faux?

[gg0]

C'est bien f(y)>f(a). merci de la correction.

Pour ton message, je suis d'accord si tu me trouve le théorème (ou la preuve de) " si f n'est pas strictement monotone [...] alors il existe x et y tq f (x)=f(y)".

C'est un peu le cœur de ce que je t'ai proposé.

Cordialement.

Rappel : Toute affirmation en maths ne vaut que si elle est justifiée par une preuve.

[invited6b2ac16]

Ok.. je suis pas bien en math (préfère de m'appeler débutant au lien de nul) rare les fois que j'arrive a résoudre des problème seul.. mais c'est de ma faute je ne travaillais pas avant c la 1ere année que je fais un effort (histoire de ma vie ) mais c'est un problème temporaire
Revenons à notre problème , je n'arrive pas a conclure rien depuis votre indication
et pour les règles désolé je me trompe tous le temps.
donc peut être que vous voulez que j'utilise des théorèmes et je ne connais pas ou que j'ai oublié pouvez vous me rappelez ?
Merci d'avance et désolé

[gg0]

A priori, avec ce que je t'ai donné, seul le théorème des valeurs intermédiaire et Rolle sont nécessaires.

Mais il faudrait que tu cherches vraiment. Je n'ai pas l'impression que tu as réfléchi à ma proposition et son lien avec le TVI, ni probablement fait un dessin (des dessins).

NB : j'ai traité un cas, il y en a évidemment un autre avec f'(a)<0.

[gg0]

Méthode générale pour trouver les preuves : imaginer ce qui se passe, le relier à des théorèmes, puis rédiger avec ces théorèmes. Dès qu'on n'y arrive pas, chercher ce qui se passe, le relier à des théorèmes, puis rédiger avec ces théorèmes, etc.