Polynôme de Lagrange et Base duale

[fabio123]

Bonsoir,

j'essaie de comprendre un exemple de base duale grâce à l'exemple des polynômes d'interpolation de Lagrange.

Je sais que la famille de polynômes vérifiant forment une base de .

Pour donné, on note la forme linéaire sur définie par :

( est "l'évaluation de P en ).

Appliquons cette définition aux polynômes , on a : que l'on peut encore noter avec le produit scalaire < >:

J'aimerais pouvoir écrire la forme linéaire sous la forme de sa définition avec les vecteurs de la base duale , c'est-à-dire sous la forme :



est-ce que je peux écrire : avec qui est la i-ème forme coordonnée de ?

D'après ce que j'ai compris, représente l'action de la forme linéaire sur le vecteur de base , c'est-à-dire sur

Dans le cas d'un exemple en dimension 3, je pourrais donc écrire :







mais ça n'a pas l'air correct si je reporte dans ces 3 expressions dans (1).

Comment pourrais-je alors trouver l'expression de la forme linéaire appliquée sur les vecteurs de base , c'est-à-dire ?

Merci d'avance pour vos éclaircissement
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[inviteea028771]

C'est quoi ta forme linéaire phi? tu ne l'a définie nul part.

[fabio123]

est la forme linéaire définie par ses formes coordonnées :



avec un polynôme

[inviteea028771]

Ce que je veux dire, c'est qu'on a en général



Donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut
Si tu definis comme le polynome et , tu as bien donc . Tu peux decomposer n'importequelle forme lineaire par . Si , tu as bien , donc
Jusque la, je te suis, mais apres, tu ne definis pas car tu melanges la base duale et les coordoonnes d'une forme