Base duale

inviteb579d45d · 31/07/2006, 22h17

Bonsoir tout le monde,

Je suis entrain de faire de l'analyse vectorielle en dimension 3 et je bute sur le concept de base duale.En fait, j'ai déjà un peu parcouru le net et mon cours, mais bien que j'y trouvent des définitions assez rigoureuses de ce qu'est la base duale d'un base donnée, je ne parvient pas à comprendre l'intèrêt de cette base duale...Bref mon problème est plutôt physique que mathématique dans le sens ou j'aimerais au delà de la définition, comprendre et surtout visualiser ce concept...

Quelqu'un pourrait-il m'aider dans ma quête?

Merci d'avance

**Quinto** · 01/08/2006, 08h57

Salut,

Envoyé par Sedrik

je ne parvient pas à comprendre l'intèrêt de cette base duale

L'interet est que c'est une base de l'espace des formes linéaires de $\text{[math]}$ .
Le dual et le primal ne sont pas le même espace, mais le dual de R^n (resp. de C^n) et R^n (resp. C^n) sont isomorphes, ce qui peut donner l'impression que la base duale est une base de l'espace de départ (espace primal) mais ce n'est pas le cas.

En quelque sorte, si tu vois l'espace primal E comme l'ensemble des vecteurs lignes de taille n, alors son espace dual E*, est l'ensemble des vecteurs colonnes de taille n. La raison est que toute forme linéaire de E peut être vue comme la multiplication à droite par un et un seul élément de E*.

invite6b1e2c2e · 01/08/2006, 10h18

Salut,

En tant qu'analyste, je signale juste que c'est extrèmement intéressant en dimension infinie d'avoir un espace dual, et chose tordue au premier abord, il peut arriver que cet espace dual ne soit pas isomorphe au primal. C'est notamment le cas de l'espace de Lebesgue L^1, dont le bidual est un truc affreux, plus gros que L^1. A vrai dire, je ne sais même pas si on sait exactement ce que c'est.

__
rvz, pour la petite histoire

**Scorp** · 01/08/2006, 14h40

Envoyé par Sedrik

j'y trouvent des définitions assez rigoureuses de ce qu'est la base duale d'un base donnée, je ne parvient pas à comprendre l'intèrêt de cette base duale...Bref mon problème est plutôt physique que mathématique dans le sens ou j'aimerais au delà de la définition, comprendre et surtout visualiser ce concept...

Idem pour moi. En fait, le problème vient du fait qu'on ne m'a pas montré cette année des applications concrètes de cette base duale (on a juste déterminé cette base dans certains cas, et démontré quelques propriétés)
J'aimerais également savoir s'il y a un lien entre l'espace dual d'un ev et son orthognal. Notamment, il me semble que l'on doit pouvoir écrire pour un ev E de dimension n :
$\text{[math]}$ (enfin, ca ne doit être vrai que si la base (e) de E est orthogonale).
Enfin bref, tout ca n'est pas très claire pour moi, donc j'appuie la requete de Sedrik. Un peu d'aide serait la bien venue
Merci d'avance

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6b1e2c2e · 01/08/2006, 15h06

En fait, dans un Hilbert H, le produit scalaire envoie H sur son dual via un isomorphisme. C'est pour ça que dans R^n, ou même dans L^2 ( qui est quand même de dimension infinie donc potentiellement désagréable), le dual est isomorphe au primal, et effectivement tu peux identifier l'un avec l'autre.

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rvz

invitea77054e9 · 03/08/2006, 00h35

Envoyé par rvz

Salut,

En tant qu'analyste, je signale juste que c'est extrèmement intéressant en dimension infinie d'avoir un espace dual, et chose tordue au premier abord, il peut arriver que cet espace dual ne soit pas isomorphe au primal. C'est notamment le cas de l'espace de Lebesgue L^1, dont le bidual est un truc affreux, plus gros que L^1. A vrai dire, je ne sais même pas si on sait exactement ce que c'est.

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rvz, pour la petite histoire

Salut,

Comme j'étudiais ça il y a encore quelques jours, j'y vais de ma petite remarque:
On se donne un espace mesuré (X,T,u), où u est sigma-finie. En désignant par BA(T) l'espace de Banach (pour la norme de la variation) des fonctions additives d'ensembles bornées sur T, le dual de L $\text{[math]}$ (u), s'identifie au sous-espace de BA(T) formé des v absolument continues par rapport à u.

Cordialement.

invite6b1e2c2e · 03/08/2006, 09h45

Envoyé par evariste_galois

On se donne un espace mesuré (X,T,u), où u est sigma-finie. En désignant par BA(T) l'espace de Banach (pour la norme de la variation) des fonctions additives d'ensembles bornées sur T, le dual de L $\text{[math]}$ (u), s'identifie au sous-espace de BA(T) formé des v absolument continues par rapport à u.

Salut,

Remarque très intéressante. Cependant, je ne vois pas trop ce qu'est "les fonctions additives d'ensembles bornées sur T" : Des limites de fonctions étagées sur T, auxquelles on impose d'être bornées ?

Autre question : Je suppose que tu as trouvé ça dans un bouquin, éventuellement un article. Tu as la référence en tête ?

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rvz

invitea77054e9 · 03/08/2006, 16h16

Envoyé par rvz

Salut,

Remarque très intéressante. Cependant, je ne vois pas trop ce qu'est "les fonctions additives d'ensembles bornées sur T" : Des limites de fonctions étagées sur T, auxquelles on impose d'être bornées ?

Autre question : Je suppose que tu as trouvé ça dans un bouquin, éventuellement un article. Tu as la référence en tête ?

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rvz

J'ai trouvé ça dans "Variation sur l'Analyse, Maitrise de Mathématiques", de Henri Buchwalter.
Par fonctions additives d'ensemble bornées sur T, je veux dire des fonctions définies sur la tribu T à valeur réelles ou complexes, additives au sens où l'image d'une union disjointe finie est la somme des images, et bornée au sens où il existe un M>0 tq ...
Les mesures sur T, bornées, réelles ou complexes, sont des exemples de telles fonctions.
Pour identifier le dual de L $\text{[math]}$ (u), il faut d'abord exhiber le dual de BM(X,T), ensemble des fonctions (réelles ou complexes) définies sur X, mesurables par rapport à T, et bornées. Ce n'est rien d'autre que BA(T).
Après, en remarquant que L $\text{[math]}$ (u)=BM(T)/N, où N est l'ensemble des fonctions négligeables (je crois), on voit que de caractériser le dual de L $\text{[math]}$ (u) revient à caractériser le dual d'un quotient.
Ca doit être un truc dans le genre, je peux retrouver la référence et être plus précis si tu veux.

Cordialement.

invite6b1e2c2e · 03/08/2006, 16h41

Merci beaucoup. Je feuilleterais peut-être ce bouquin un jour. Faut dire que je suis un peu fou quand je vais dans une bibli de maths : Je pars pour prendre un bouquin, et je reviens avec 10 qui n'ont rien à voir, récoltés sur le chemin parce que le titre avait l'air sympa, ou parce que je connaissais le nom de l'auteur, ou parce que la couverture était jolie (D'ailleurs, méfiez vous des Spivak pour ça), ou parce que le titre m'a rappelé un truc qu'on avait mentionné un jour sans que je sache précisément de quoi il s'agissait... etc
Autant dire que j'ai un peu de mal à me fixer

Mais bon, si jamais je me souviens du nom de l'auteur, qui sait, peut-être qu'un jour j'arriverais à lire la preuve

En plus, l'énoncé fait un peu peur. C'est un espace plus gros que les mesures (D'accord fallait s'y attendre), et je me demande si ça apparaît quelquefois dans la pratique en EDP, outre en analyse fonctionnelle.

Question subsidiaire : Peut-on calculer le tridual de L^1 ? Et le quadridual ? Bon, ok j'arrête. Cela dit, je me souviens qu'un copain m'avait donné toute une série de critère un peu bizarre du type : Si les boules unités du quadridual et du bidual sont isomorphes, alors le primal est réfléxif. (Ou une approximation de cet énoncé) Je ne me souviens plus du livre auquel il faisait allusion, mais si ça t'intéresse, je peux lui demander.

A +,
__
rvz

inviteb579d45d · 03/08/2006, 17h46

Bonsoir,

Ce ne serait pas ce que l'on appelle "du détournement de topic?"

Je vous remercie quand meme de vos réponses qui sont autant de pistes de recherche dans une compréhension de ce concept!

Bonne soirée et a+

invitea77054e9 · 03/08/2006, 18h01

Envoyé par rvz

Merci beaucoup. Je feuilleterais peut-être ce bouquin un jour. Faut dire que je suis un peu fou quand je vais dans une bibli de maths : Je pars pour prendre un bouquin, et je reviens avec 10 qui n'ont rien à voir, récoltés sur le chemin parce que le titre avait l'air sympa, ou parce que je connaissais le nom de l'auteur, ou parce que la couverture était jolie (D'ailleurs, méfiez vous des Spivak pour ça), ou parce que le titre m'a rappelé un truc qu'on avait mentionné un jour sans que je sache précisément de quoi il s'agissait... etc
Autant dire que j'ai un peu de mal à me fixer

Pour moi, c'est pratiquement pareil, sauf que je prend tellement de bouquin à chaque fois que j'en lis jamais plus du quart

.

Une petite remarque pour finir: Pour qu'une forme linéaire (continue) F sur
L $\text{[math]}$ (u) soit de la forme $\text{[math]}$ , avec g dans L $\text{[math]}$ (u), il faut et il suffit qu'elle vérifie la condition: Pour toute suite $\text{[math]}$ de L $\text{[math]}$ (u) telle que $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

invite6de5f0ac · 05/08/2006, 05h04

Envoyé par rvz

Question subsidiaire : Peut-on calculer le tridual de L^1 ? Et le quadridual ? Bon, ok j'arrête. Cela dit, je me souviens qu'un copain m'avait donné toute une série de critère un peu bizarre du type : Si les boules unités du quadridual et du bidual sont isomorphes, alors le primal est réfléxif. (Ou une approximation de cet énoncé) Je ne me souviens plus du livre auquel il faisait allusion, mais si ça t'intéresse, je peux lui demander.

Bonjour,

Je ne vois pas trop l'intérêt de calculer des n-duaux... Vu que tout espace V (quelle que soit sa dimension) est canoniquement isomorphe à son bidual V**, on a forcément V*** = V*, et ainsi de suite.

Ou quelque chose m'a échappé? Le fait que (L¹)* soit un monstre n'empêche pas que (L¹)** = L¹, non?

-- françois

invitea77054e9 · 05/08/2006, 09h42

Envoyé par fderwelt

Bonjour,

Je ne vois pas trop l'intérêt de calculer des n-duaux... Vu que tout espace V (quelle que soit sa dimension) est canoniquement isomorphe à son bidual V**, on a forcément V*** = V*, et ainsi de suite.

Ou quelque chose m'a échappé? Le fait que (L¹)* soit un monstre n'empêche pas que (L¹)** = L¹, non?

-- françois

Salut,

Il faut faire attention, le dual de L¹ n'est pas "un monstre". Il est isométriquement isomorphe à L. C'est le bidual de L¹ qu'on pourrait ainsi qualifier (donc le dual de L).
De plus, on a pas toujours V**=V, comme le montre l'exemple de L¹. Les espaces vérifiant V**=V sont dits réfléxifs. C'est le cas en particulier des espaces de Hilbert réels (L² est un exemple de tel espace, tout comme les espaces vectoriels de dimension finie).

Cordialement.

invite6de5f0ac · 05/08/2006, 09h53

Envoyé par evariste_galois

De plus, on a pas toujours V**=V, comme le montre l'exemple de L¹. Les espaces vérifiant V**=V sont dits réfléxifs. C'est le cas en particulier des espaces de Hilbert réels (L² est un exemple de tel espace,

Bonjour,

Je crois qu'il y a un peu de confusion quelque part... Algébriquement parlant, on a toujours V** = V. Maintenant, ce n'est peut-être (sûrement) plus vrai si on se limite par exemple aux formes linéaires continues.
Ça doit être à ce niveau que je m'ai mélangé les pinceaux.

Cordialement,

-- françois

invitea77054e9 · 05/08/2006, 10h08

Effectivement, il y a peut-être eu confusion. En dimension infinie, on parle plus volontier de dual topologique que de dual algébrique. En dimension finie, les deux notions coïncident (à partir du moment où on s'est donné une norme).

Par contre, en dimension infinie, pas sûr qu'un espace vectoriel et son bidual algébrique coïncident. A voir.

invite6b1e2c2e · 07/08/2006, 13h21

Je dirais même que c'est sûr que non, non ?

Il doit être possible d'exhiber des applications linéaires pas continues, et ça suffit à notre propos. J'ai pas d'exemple en tête, mais je suis sûr que ça peut se faire pas trop difficilement.

__
rvz

invitea77054e9 · 07/08/2006, 15h44

Salut,

Je crois que le résultat est le suivant:
Un e.v et son bidual algébrique coïncident ssi il est de dimension fini.

Pour le montrer, on peut utiliser un argument de cardinalité, en montrer qu'en dimension infinie, le dual d'un e.v a un cardinal strictement supérieur à celui de l'e.v.

Je ne comprend pas ce que tu veux dire rvz, une fois qu'on a montré qu'il existait des formes linéaires non continues (ce qui est assez facile effectivement), on conclut comment?

invite6b1e2c2e · 07/08/2006, 16h01

Salut,

Eh bien, on est d'accord que le dual algébrique est constituée de toutes les formes linéaires, pas forcément continues sur E. Donc si on démontre qu'il existe des formes liinéaires pas continues, on a démontré que le dual algébrique est différent du dual topologique.

Sinon, comme le dit François, quelque soit la dimension, finie ou pas, on a toujours que E est isomorphe à E**, bidual algébrique.

Ce que je dis donc, c'est qu' à priori, le bidual topologique E^^ est un ev plus gros que E**, car E^ est plus petit que E*, et que c'est certainement difficile d'avoir plus parce qu'il existe des cas où l'un est effectivement strictement plus petit que l'autre. Et ça a l'air d'être le cas dès qu'on est en dimension infinie.

Après, on a vu que de toute façon, bidual algébrique et bidual algébrique pouvait effectivement être différent, via l'étude du cas de L^1 évidemment.

__
rvz

invitea77054e9 · 07/08/2006, 16h58

Envoyé par rvz

Salut,

Eh bien, on est d'accord que le dual algébrique est constituée de toutes les formes linéaires, pas forcément continues sur E. Donc si on démontre qu'il existe des formes liinéaires pas continues, on a démontré que le dual algébrique est différent du dual topologique.

Sinon, comme le dit François, quelque soit la dimension, finie ou pas, on a toujours que E est isomorphe à E**, bidual algébrique.

J'ai du mal à suivre. Tu dis que E est toujours isomorphe à E** (bidual algébrique), quelque que soit sa dimension. Pourtant, j'affirme le contraire au post précédent, en utilisant de simples résultats de cardinalité.

Ce que je dis donc, c'est qu' à priori, le bidual topologique E^^ est un ev plus gros que E**, car E^ est plus petit que E* ...

A la limite, on peut dire que E^^ est plus gros que E*^, mais comment fais-tu pour montrer que E^^ est plus gros que E** ?

invite6b1e2c2e · 07/08/2006, 17h23

Envoyé par evariste_galois

J'ai du mal à suivre. Tu dis que E est toujours isomorphe à E** (bidual algébrique), quelque que soit sa dimension. Pourtant, j'affirme le contraire au post précédent, en utilisant de simples résultats de cardinalité.

Si ça peux te rassurer, j'ai moi aussi du mal à me suivre

Cela dit, l'argument que tu invoques ne me convainc pas du tout. Je suis quasi convaincu que l'argument de François de l'isomorphisme canonique entre E et son bidual algébrique donne le résultat opposé.

A la limite, on peut dire que E^^ est plus gros que E*^, mais comment fais-tu pour montrer que E^^ est plus gros que E** ?

Effectivement. Je me suis tout emmêlé...

__
rvz

invitea77054e9 · 07/08/2006, 18h28

Pour montrer que E et son bidual algébrique E** ne sont pas isomorphe quand E est de dimension infinie, on peut raisonner sur la cardinalité. Si ( $\text{[math]}$ ) est une base de E indexée par un ensemble I, alors card(E)=card(I) et card(E*)=card( $\text{[math]}$ ), où K est le corps de base de E. Du moins, je crois.

Une autre démonstration ici: http://www.les-mathematiques.net/b/e/u/node7.php3

Un exemple de construction de forme linéaire non continue sur un e.v.n E de dimension infinie, pour finir:
Soit ( $\text{[math]}$ ) une famille infinie, libre dans E mais non génératrice.
Notons V=<( $\text{[math]}$ )>, et soit W un supplémantaire de V dans E, $\text{[math]}$ .
On définit une forme linéaire f sur V en posant $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
Alors, si p désigne la projection sur V parallèlement à W, la composée de f par p est forme linéaire sur E. Notons F cette composée. Il est facile de voir que cette forme linéaire n'est pas continue, par exemple en remarquant que sup $\text{[math]}$ .

Cordialement.

P.S: désolé pour ma faible maitrise de Latex, je vais essayer de m'améliorer

.

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