Coordonnées d'un vecteur dans la base duale

[invitee4450ec2]

Bonjour à tous,

Je tente actuellement de m'initier au calcul tensoriel.

J'ai 44 ans et le niveau Licence de Mathématiques (1987)
Je suis pour l'instant en train de remettre mon nez dans les joies de l'algèbre linéaire

J'ai un petit problème concernant les coordonnées d'un vecteur dans la base duale (coordonnées covariantes)

Soit le problème suivant:

R² Espace vectoriel muni de la base B suivante {e1 = (1,2); e2 = (3,4)}
Trouver la base duale B^*

Il faut donc chercher les 2 formes linéaires
l1: (x,y) -> ax + by et l2: (x,y) -> cx + dy tq

l1(e1) = 1 , l1(e2) = 0
l2(e1) = 0, l2(e2) = 1

en résolvant on trouve finalement:
e^*1 = l1(x,y) = -2x + 1.5y et
e^*2 = l2(x,y) = x - 0.5y

Jusque là tout va bien

La question que je me pose est la suivante:

Soit v un vecteur quelconque de R² de coordonnées (x,y) dans la base B (v = xⁱei), comment déterminer ses coordonnées dans B^* ?

D'autre part et plus généralement comment "confondre" un vecteur d'un Espace Vectoriel E et une forme linéaire de l'Espace Vectoriel Dual E^{* ?} (covecteur)


Merci pour votre aide
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[invite5c27c063]

Soit v un vecteur quelconque de R² de coordonnées (x,y) dans la base B (v = xⁱei), comment déterminer ses coordonnées dans B^* ?

Pour moi tout cela remonte a quelques annees mais je dirais qu'on peut pas exprimer un vecteur d'un espace (R² par exemple) dans la base d'un autre espace (son dual pour continuer l'exemple).

D'autre part et plus généralement comment "confondre" un vecteur d'un Espace Vectoriel E et une forme linéaire de l'Espace Vectoriel Dual E^{* ?} (covecteur)

Les deux espaces etant de meme dimension, ils sont isomorphes ie tu peux construire une bijection associant chaque vecteur de l'un a l'autre. C'est ce que tu entends par "confondre" ?

Patrick

[invitebfba5092]

en résolvant on trouve finalement:
e^*1 = l1(x,y) = -2x + 1.5y et
e^*2 = l2(x,y) = x - 0.5y

La question que je me pose est la suivante:

Soit v un vecteur quelconque de R² de coordonnées (x,y) dans la base B (v = xⁱei), comment déterminer ses coordonnées dans B^* ?

Bonjour,

il suffit de trouver x et y en fonction de e*1 et e*2 à partir du systeme d'equation ci-dessus

[invitee4450ec2]

Bonjour,

il suffit de trouver x et y en fonction de e*1 et e*2 à partir du systeme d'equation ci-dessus

alors donc:

-2x + 1.5y = e^*1
x - 0.5y = e^*2

<=> y = 2e^*1 + 4e^*2 et x = e^*1 + 3e^*2 mais ensuite ?

Si u a pour coordonnées (2,2) dans B quelles sont ses coordonnées dans B^* ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb11a0797]

Salut,
tout d'abord comme la dit pat7111, B et B* sont deux bases mais pas du même espace donc si on a un vecteur de R², sa n'as pas de sens de parler de ces coordonnées dans B* car la base B* est formé de vecteurs qui sont des formes linéaires.
Comme toi j'ai eu un souci en ce qui concerne confondre un vecteur de E et un de E*, parce qu'à mon avis la formulation est mauvaise. Par contre, sous réserve que l'on soit dans un espace vectoriel euclidien, on peut associer à toute forme linéaire f, ie à tout éléments de E*, un vecteur a de E tel que pour tout x de E, f(x)=<x/a> où < / > désigne le produit scalaire.
Ainsi tout tes élements de E* sont directement reliés à un vecteur de E. A mon avis c'est ce qu'on entend par "confondre un élement de E et un élément de E*.

En espérant avoir répondu à ta question

Cordialement

[fabio123]

Bonjour,

Soit le problème suivant:

R2 Espace vectoriel muni de la base B suivante {e1 = (1,2); e2 = (3,4)}
Trouver la base duale B*

Il faut donc chercher les 2 formes linéaires
l1: (x,y) -> ax + by et l2: (x,y) -> cx + dy tq

l1(e1) = 1 , l1(e2) = 0
l2(e1) = 0, l2(e2) = 1

en résolvant on trouve finalement:
e*1 = l1(x,y) = -2x + 1.5y et
e*2 = l2(x,y) = x - 0.5y

Pourquoi stranging parle t-il de chercher 2 formes linéaires ? il ne faudrait pas plutôt préciser 2 formes linéaires coordonnées l1 et l2 (égale respectivement à e*1 et e*2) ?

[gg0]

Il y a effectivement une confusion entre formes linéaires et vecteurs.

Dans :
"e^*1 = l1(x,y) = -2x + 1.5y et
e^*2 = l2(x,y) = x - 0.5y "
e*1 et e*2 sont définis comme des réels (dépendant de la valeur de x et de y). Il aurait fallu écrire
e^*1 : (x,y)--> l1(x,y) = -2x + 1.5y et
e^*2 : (x,y)--> l2(x,y) = x - 0.5y
Ce qui permettait de bien comprendre que ces deux fonctions ne sont pas une base de R², donc que v ne se calcule pas avec elles.

Cordialement.

[invitee4450ec2]

Mon Dieu, comme le temps passe vite ...
si un mail automatique ne m'avait prévenu qu'il y avait une réponse à ce post, je ne me serais même pas rappelé avoir posé cette question.

De l'eau est passée sous le pont et depuis ce temps j'ai les idées beaucoup plus claires sur les Vecteurs et Tenseurs.

De la ténacité, des heures de travail, de nombreux bouquins, articles du net et surtout les excellents cours de RR et de RG du très pédagogue Professeur Richard Taillet m'y ont bien aidé

Bien cordialement.