Base duale

[invite9e0be6e7]

Bonjour,

j'me mets aux tenseurs et ça parle d'espace dual, et de base duale. J'ai fais de l'algèbre linéaire mais j'ai pas vu ce qu'est un espace dual. Donc apparemment un espace dual est (par exemple) l'ensemble E* des applications linéaires f:E dans E, avec E un espace vectoriel de dimension n, et E* est isomorphe à E.
Jusqu'à la ok, mais ensuite ça parle de base duale, et la j'ai du mal. Une base duale est donc un ensemble de n vecteur (qui seraient donc des applications linéaires) avec lesquelles je dois pouvoir exprimer n'importe quelle application linéaire, c'est ça?? j'ai du mal à voir à quoi une telle base pourrait ressembler...(si on pouvait me donner un exemple svp)
j'aurai aimer avoir quelques explications si possible, me corriger si j'suis dans l'erreur parce que ça me tracasse vraiment .

merci bien.
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[invitec3143530]

l'espace dual du K-e.v E n'est pas l'ensemble des app linéaires de E dans E, mais l'ensemble des app linéaires de E dans K.

Ses éléments peuvent être représentes par des vecteurs lignes, par l'exemple (1,1,1) est élément du dual de R^3 et représente l'app linéaire qui vaut 1 en (1,0,0) en (0,1,0) et en (0,0,1).

On voit alors que l'espace dual est un espace vectoriel de même dimension que E (toute app linéaire est décomposable en combinaison linéaire de (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1) pour R^3 par exemple). La base dual (d'une base B de E) est alors l'une des bases de cet espace, son premier élément est l'app qui vaut 1 sur le premier élément de B et 0 sur les autres éléments de B, son 2nd élément vaut 1 sur le 2nd élément de B et 0 sur les autres éléments de B, etc.

[invite9e0be6e7]

l'espace dual du K-e.v E n'est pas l'ensemble des app linéaires de E dans E, mais l'ensemble des app linéaires de E dans K.

aaaah c'était la mon problème! merci bien, oui en fait la matrice représentative de l'application linéaire est un vecteur, merci beaucoup j'pense avoir compris maintenant

[invitec3143530]

Plus précisément c'est une matrice ligne, un vecteur c'est plutôt une matrice colonne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e0be6e7]

oui merci bien, j'reviendrai si j'ai d'autres questions

[inviteaba0ef6b]

Bonjour,

Si tu te mets aux tenseurs je te conseille
de ne pas réfléchire directement en termes
de composantes, tu vas louper qqch...

Convaics-toi que les formes linéaires sur E
forment un espace vectoriel.

Ensuite, après avoir choisit une base, une application
qui envoit chaque vecteur sur sa nième composant est une forme
linéaire(à vérifier).

Il y en autant de ces appications que la dimension
de E(évident) et elles sont indép. et toute forme linéaire est
combinaison de ces formes là. Donc c'est une base, la base
dual de la base que tu as choisit pour les définire...