Bonjour,
Je me posais une question quand à la résolution d'un exercice:
Soit E=R1[X] et soient f1 et f2 deux éléments de E* définis par
f1(P)=intégrale de 0 à 1 de P(x)dx
f2(P)=intégrale de 0 à 2 de P(x)dx
Montrer que B*={f1,f2} est une base de E*
Donc : Soit {1;X} la base canonique de R1[X]
pour P(X)=1 f1(P)=1 et f2(P)=2
pour P(X)=X f1(P)=1/2 et f2(P)=2
d'où det(Mat (f1,f2))=1 différent de 0
donc f1;f2 est une base de E*
Est ce suffisant ou dois-je montrer l'égalité des dimensions ??
c'est cool ce que t'as fait.
Tu dis juste que t'as une famille (libre donc) à 2 éléments dans un ev de dimension 2. --> base de E*
Pas si cool !d'où det(Mat (f1,f2))=1 différent de 0
On définit le déterminant d'un système de vecteurs ou bien le déterminant d'une matrice. Encore faut-il préciser pour un système de vecteurs par rapport à quelle base. Le déterminant d'une matrice peut, quant à lui, être défini sans base de référence.
A priori f1 et f2 sont des formes linéaires.
La notation Mat(f1,f2) ne représente rien.
Par contre la notation dét(f1,f2) possède un sens relativement à la base duale de R1[X] parce qu'on est en dimension 2 (autrement cela n'aurait pas de sens).
En résumé je justifierais plutôt ton affirmation en disant:
Comme la dimension du dual est égale à dimension de l'espace, donc dans notre cas 2. Pour que les deux formes linéaires f1 et f2 forment une base il suffit qu'elles soient linéairement indépendantes.
Or le calcul que tu as fait prouve cela
Si f2=kf1 puisquek=2pour P(X)=1 f1(P)=1 et f2(P)=2
puisquek=4.pour P(X)=X f1(P)=1/2 et f2(P)=2
Donc il ne peut exister k tel que f2=kf1.
rho...
J'avais pas regardé les calculs et m'étais contenté de regarder la méthode: dès que j'ai vu qu'elle avait montré "qu'un" déterminant était non nul j'ai pensé que c'était fait pour la liberté...
